【向量平行垂直公式推导】在向量运算中，判断两个向量是否平行或垂直是常见的问题。通过数学推导，我们可以得出判断向量平行与垂直的公式。以下是对这两个公式的详细推导过程和总结。
一、向量平行的定义与公式推导
定义：
两个向量 a 和 b 平行，当且仅当它们的方向相同或相反，即存在一个实数 k，使得 a = k·b（或 b = k·a）。
推导过程：
设向量 a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)。若 a 与 b 平行，则它们的方向一致或相反，因此它们的分量之间应满足比例关系：
$$
\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}
$$
或者等价地：
$$
x_1 y_2 = x_2 y_1
$$
这就是向量平行的判定条件。
二、向量垂直的定义与公式推导
定义：
两个向量 a 和 b 垂直，当且仅当它们的夹角为 90°，即它们的点积为零。
推导过程：
设向量 a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)。根据向量点积的定义：
$$
a \cdot b = x_1 x_2 + y_1 y_2
$$
若 a ⊥ b，则有：
$$
a \cdot b = 0 \Rightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0
$$
这就是向量垂直的判定条件。
三、总结与对比
| 判断类型 | 定义 | 公式表达 | 说明 |
| 向量平行 | 方向相同或相反 | $ x_1 y_2 = x_2 y_1 $ | 比例关系成立 |
| 向量垂直 | 夹角为 90° | $ x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0 $ | 点积为零 |
四、实际应用举例
- 平行例子：
向量 a = (2, 4) 与 b = (1, 2)，因为 $ 2×2 = 1×4 $，所以 a ∥ b。
- 垂直例子：
向量 a = (3, -1) 与 b = (1, 3)，因为 $ 3×1 + (-1)×3 = 3 - 3 = 0 $，所以 a ⊥ b。
通过上述推导与总结，我们可以清晰地理解向量平行与垂直的数学本质，并在实际问题中灵活运用这些公式进行判断与计算。
