【向量积公式怎么算】在数学和物理中，向量积（又称叉积）是一个重要的概念，常用于计算两个向量之间的垂直方向以及面积、力矩等物理量。向量积的结果是一个向量，其方向由右手定则确定，大小则与两个向量的夹角有关。
本文将总结向量积的基本公式、计算方法及应用，并通过表格形式直观展示相关内容，帮助读者快速掌握这一知识点。
一、向量积的基本定义
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积记作 a × b，结果是一个新的向量，表示为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
其中，i、j、k 是单位向量，分别对应 x、y、z 轴方向。
二、向量积的性质
| 性质 | 描述 | ||||||
| 方向 | 垂直于 a 和 b 所在平面，遵循右手定则 | ||||||
| 大小 | a × b | = | a | b | sinθ（θ 为两向量夹角） | ||
| 交换律 | a × b = - (b × a) | ||||||
| 分配律 | a × (b + c) = a × b + a × c | ||||||
| 零向量 | 若 a 与 b 共线，则 a × b = 0 |
三、向量积的计算步骤
1. 写出两个向量的坐标
如：a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃)
2. 使用行列式展开法
构造如下的 3×3 行列式：
$$
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
3. 按行展开并计算各分量
- i 分量：a₂b₃ - a₃b₂
- j 分量：-(a₁b₃ - a₃b₁)
- k 分量：a₁b₂ - a₂b₁
4. 组合成最终结果向量
即：(a₂b₃ - a₃b₂, -(a₁b₃ - a₃b₁), a₁b₂ - a₂b₁)
四、向量积的应用场景
| 应用领域 | 说明 |
| 物理力学 | 计算力矩、角动量等 |
| 计算机图形学 | 确定平面法向量、光照方向等 |
| 三维几何 | 判断点是否在平面上、计算面积等 |
| 电磁学 | 磁场与电流的关系等 |
五、示例计算
设向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)
根据公式：
- i 分量：2×6 - 3×5 = 12 - 15 = -3
- j 分量：-(1×6 - 3×4) = -(6 - 12) = 6
- k 分量：1×5 - 2×4 = 5 - 8 = -3
所以，a × b = (-3, 6, -3)
六、总结
向量积是向量运算中的重要工具，广泛应用于多个学科领域。其计算方式虽然较为复杂，但通过行列式展开法可以系统地进行计算。掌握向量积的公式及其性质，有助于更深入地理解空间几何关系和物理现象。
| 项目 | 内容 | ||||||
| 定义 | 向量积是两个向量的乘积，结果为一个向量 | ||||||
| 公式 | a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁) | ||||||
| 方向 | 垂直于两向量所在平面，符合右手定则 | ||||||
| 大小 | a × b | = | a | b | sinθ | ||
| 应用 | 力矩、法向量、面积计算等 |
通过以上内容，希望你对“向量积公式怎么算”有了清晰的理解和掌握。
