【向量积的全部公式】在向量代数中，向量积（也称为叉积）是一个重要的运算，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。向量积的结果是一个向量，其方向垂直于原两个向量所在的平面，并且其大小与两个向量的模长及夹角有关。本文将总结向量积的基本公式，并以表格形式进行清晰展示。

一、向量积的基本定义

设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的向量积 a × b 是一个向量，其计算公式如下：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

也可以写成分量形式：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)

$$

二、向量积的性质

三、向量积的模长公式

向量积的模长表示两个向量所形成的平行四边形的面积：

$$

$$

其中，$\theta$ 是两个向量之间的夹角。

四、向量积的方向判定

向量积 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 的方向由右手螺旋法则确定：伸出右手，四指从 $\mathbf{a}$ 指向 $\mathbf{b}$，拇指指向向量积的方向。

五、向量积的特殊形式

六、向量积的计算示例

假设 $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$，$\mathbf{b} = (4, 5, 6)$，则：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

\end{vmatrix}

= (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5)\mathbf{i} - (1 \cdot 6 - 3 \cdot 4)\mathbf{j} + (1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)\mathbf{k}

$$

$$

= (12 - 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (5 - 8)\mathbf{k}

= (-3)\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}

$$

即：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)$

七、总结表格

通过以上内容，可以系统地掌握向量积的相关公式及其应用方法，为后续学习和实际问题解决提供坚实的基础。