【向量积的坐标运算公式及推导】在三维空间中，向量积（也称为叉积）是两个向量之间的一种乘法运算，其结果是一个与原两向量都垂直的新向量。向量积在物理、工程和数学中有广泛应用，例如计算力矩、旋转方向等。

为了更直观地理解向量积的运算方式，我们可以使用坐标形式进行表达和推导。以下是对向量积的坐标运算公式的总结与推导过程。

一、向量积的基本概念

设向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，它们的向量积记作 $\vec{a} \times \vec{b}$，其结果是一个新的向量，满足以下性质：

- 方向：垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所确定的平面；

- 大小：等于 $\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \sin\theta$，其中 $\theta$ 是两向量之间的夹角；

- 右手定则：符合右手螺旋法则。

二、向量积的坐标运算公式

向量积的坐标运算公式如下：

$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

即：

$$

\vec{a} \times \vec{b} = \left( a_2b_3 - a_3b_2, \; a_3b_1 - a_1b_3, \; a_1b_2 - a_2b_1 \right)

$$

三、向量积的坐标运算公式总结表

四、向量积的推导过程

1. 定义向量积的行列式形式

利用单位向量 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 构造一个三阶行列式：

$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

$$

2. 展开行列式

按照第一行展开：

$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\mathbf{i}(a_2b_3 - a_3b_2) - \mathbf{j}(a_1b_3 - a_3b_1) + \mathbf{k}(a_1b_2 - a_2b_1)

$$

3. 整理为坐标形式

将上述结果写成向量的形式，得到：

$$

\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, \; a_3b_1 - a_1b_3, \; a_1b_2 - a_2b_1)

$$

五、向量积的性质

六、应用举例

设 $\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (4, 5, 6)$，则：

$$

\vec{a} \times \vec{b} = (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5, \; 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6, \; 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4) = (12 - 15, \; 12 - 6, \; 5 - 8) = (-3, 6, -3)

$$

结语

向量积的坐标运算公式是解决三维空间中向量关系问题的重要工具。通过行列式展开的方法可以清晰地推导出其表达式，并利用该公式进行实际计算。掌握这一方法有助于深入理解向量的空间关系及其物理意义。