【数学期望值的公式】数学期望是概率论与统计学中的一个重要概念，用于描述一个随机变量在大量重复试验中所取值的平均趋势。它可以帮助我们预测某种事件发生的长期平均结果，广泛应用于金融、保险、游戏策略等领域。
一、数学期望的基本定义
设随机变量 $ X $ 的可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则其数学期望（记作 $ E(X) $）定义为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
对于连续型随机变量，数学期望则用积分表示：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中 $ f(x) $ 是该随机变量的概率密度函数。
二、数学期望的性质
1. 线性性：
对于任意常数 $ a $ 和 $ b $，有
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 期望的加法性：
若 $ X $ 和 $ Y $ 是两个随机变量，则
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
$$
3. 独立变量的乘积期望：
若 $ X $ 和 $ Y $ 独立，则
$$
E(XY) = E(X) \cdot E(Y)
$$
三、常见分布的数学期望公式
| 分布类型 | 随机变量 $ X $ | 概率质量函数 / 密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 伯努利分布 | $ X \in \{0, 1\} $ | $ P(X = k) = p^k (1 - p)^{1-k} $ | $ p $ |
| 二项分布 | $ X \sim B(n, p) $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 | $ X \sim Po(\lambda) $ | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ X \sim U[a, b] $ | $ f(x) = \frac{1}{b - a} $ | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 | $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
四、实际应用举例
例如，在一次游戏中，玩家掷一枚硬币，正面获得5元，反面失去2元。假设硬币是公平的，即正反面出现的概率均为0.5。
- 正面：收益5元，概率0.5
- 反面：收益-2元，概率0.5
计算期望值：
$$
E(X) = 5 \times 0.5 + (-2) \times 0.5 = 2.5 - 1 = 1.5
$$
说明该游戏的平均收益为1.5元，对玩家有利。
五、总结
数学期望是衡量随机变量“平均表现”的重要工具，适用于各种概率模型和现实问题分析。通过掌握其公式及性质，我们可以更好地理解风险与收益之间的关系，为决策提供依据。
| 关键点 | 内容 |
| 定义 | 随机变量的长期平均值 |
| 公式 | 离散型：$ E(X) = \sum x_i p_i $；连续型：$ E(X) = \int x f(x) dx $ |
| 性质 | 线性性、加法性、独立乘积性质 |
| 应用 | 游戏、投资、保险等场景中的风险评估 |
通过以上内容，可以更清晰地理解数学期望的意义与应用方式。
