【数学期望公式】在概率论与统计学中，数学期望是一个非常重要的概念，它用于描述随机变量在大量重复实验中所取值的平均趋势。数学期望可以理解为在长期试验中，随机变量的平均结果。无论是理论研究还是实际应用，数学期望都具有广泛的意义。
一、数学期望的基本定义
数学期望（Expected Value），通常用 $ E(X) $ 或 $ \mu $ 表示，是对随机变量 $ X $ 的一种加权平均，其中权重是该值出现的概率。
离散型随机变量的数学期望：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
其中，$ x_i $ 是随机变量可能取的值，$ P(x_i) $ 是该值出现的概率。
连续型随机变量的数学期望：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中，$ f(x) $ 是随机变量的概率密度函数。
二、常见分布的数学期望公式
以下是一些常见概率分布的数学期望公式总结：
| 分布类型 | 概率质量/密度函数 | 数学期望公式 |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k} $ | $ E(X) = p $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ E(X) = np $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ E(X) = \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ E(X) = \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ E(X) = \mu $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ E(X) = \frac{1}{\lambda} $ |
三、数学期望的性质
1. 线性性：对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 可加性：对于两个随机变量 $ X $ 和 $ Y $，有
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
$$
3. 独立变量乘积的期望：若 $ X $ 与 $ Y $ 相互独立，则
$$
E(XY) = E(X) \cdot E(Y)
$$
四、数学期望的应用
数学期望在多个领域都有广泛应用，包括但不限于：
- 金融投资：用于评估投资组合的预期收益。
- 保险精算：用于计算保险产品的预期赔付金额。
- 机器学习：用于模型预测中的平均性能评估。
- 决策分析：帮助在不确定条件下做出最优选择。
五、总结
数学期望是概率论中一个基础而核心的概念，它能够帮助我们从整体上把握随机变量的行为特征。无论是在理论分析还是实际应用中，掌握数学期望的计算方法和相关性质都是十分必要的。
通过上述表格和说明，我们可以清晰地看到不同分布下的期望公式及其应用场景，从而更好地理解和运用这一重要工具。
