【数学期望常用公式总结】在概率论与数理统计中，数学期望是一个非常重要的概念，用于描述随机变量的“平均值”或“中心位置”。它广泛应用于统计分析、金融建模、机器学习等多个领域。本文将对常见的数学期望公式进行系统性总结，并以表格形式展示，便于查阅和理解。
一、基本概念
数学期望（Expected Value）是指一个随机变量在所有可能结果中，按照其发生的概率加权后的平均值。设 $ X $ 是一个随机变量，其数学期望记作 $ E(X) $ 或 $ \mu $。
二、常见分布的数学期望公式
以下是一些常见概率分布的数学期望公式：
| 分布名称 | 概率质量函数/密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ | 说明 |
| 0-1 分布（伯努利分布） | $ P(X = x) = p^x(1-p)^{1-x} $, $ x=0,1 $ | $ p $ | 成功的概率为 $ p $ |
| 二项分布 $ B(n,p) $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $, $ k=0,1,...,n $ | $ np $ | 进行 $ n $ 次独立试验，每次成功概率为 $ p $ |
| 泊松分布 $ Poisson(\lambda) $ | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $, $ k=0,1,2,... $ | $ \lambda $ | 描述单位时间内事件发生的次数 |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ | 在区间 $ [a,b] $ 上均匀分布 |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $, $ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | 描述事件发生的时间间隔 |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | 均值为 $ \mu $，方差为 $ \sigma^2 $ |
| 几何分布 $ Geom(p) $ | $ P(X = k) = (1-p)^{k-1} p $, $ k=1,2,... $ | $ \frac{1}{p} $ | 首次成功前的试验次数 |
| 超几何分布 $ H(N,K,n) $ | $ P(X = k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ \frac{nK}{N} $ | 从有限总体中不放回抽样 |
三、数学期望的性质
数学期望具有以下基本性质，适用于任意随机变量 $ X $ 和 $ Y $，常数 $ a $、$ b $：
1. 线性性：
$ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $
2. 常数的期望：
$ E(c) = c $，其中 $ c $ 是常数
3. 独立变量的期望乘积：
若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则 $ E(XY) = E(X)E(Y) $
4. 期望的非负性：
若 $ X \geq 0 $，则 $ E(X) \geq 0 $
5. 期望的单调性：
若 $ X \leq Y $，则 $ E(X) \leq E(Y) $
6. 期望的绝对值不等式：
$
四、多维随机变量的期望
对于二维随机变量 $ (X,Y) $，数学期望可以扩展为：
- 联合期望：
$ E(X,Y) = E(X) + E(Y) $（若为独立变量）
- 条件期望：
$ E(X
- 全期望公式（Law of Total Expectation）：
$ E(X) = E(E(X
五、总结
数学期望是概率论中极为基础且实用的概念，掌握其公式和性质有助于深入理解随机现象的规律。通过上述表格和总结，读者可以快速回顾各类分布的期望值及基本性质，为后续的学习和应用打下坚实基础。
如需进一步了解方差、协方差、矩生成函数等内容，可继续参考相关资料。
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