【数学期望怎么求】在概率论和统计学中，数学期望是一个非常重要的概念，它用来描述一个随机变量在大量重复试验中所取值的平均趋势。数学期望可以理解为“长期平均值”，是衡量随机变量集中趋势的一种方式。
一、数学期望的基本定义
数学期望（Expected Value），通常用符号 $ E(X) $ 表示，是对随机变量 $ X $ 所有可能取值按其概率加权后的总和。
离散型随机变量的数学期望：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
其中，$ x_i $ 是随机变量的可能取值，$ P(x_i) $ 是对应取值的概率。
连续型随机变量的数学期望：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中，$ f(x) $ 是概率密度函数。
二、数学期望的计算步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定随机变量的可能取值 $ x_1, x_2, ..., x_n $ |
| 2 | 确定每个取值对应的概率 $ P(x_1), P(x_2), ..., P(x_n) $ |
| 3 | 将每个取值乘以对应的概率，得到 $ x_i \cdot P(x_i) $ |
| 4 | 将所有结果相加，得到数学期望 $ E(X) $ |
三、实例分析
示例1：抛一枚均匀硬币
设随机变量 $ X $ 表示正面朝上的次数（0或1），每次抛硬币的概率均为 0.5。
| 取值 $ x_i $ | 概率 $ P(x_i) $ | 计算 $ x_i \cdot P(x_i) $ |
| 0 | 0.5 | 0 × 0.5 = 0 |
| 1 | 0.5 | 1 × 0.5 = 0.5 |
$$
E(X) = 0 + 0.5 = 0.5
$$
示例2：掷一个六面骰子
设随机变量 $ X $ 表示掷出的点数（1到6），每个点数出现的概率都是 $ \frac{1}{6} $。
| 取值 $ x_i $ | 概率 $ P(x_i) $ | 计算 $ x_i \cdot P(x_i) $ |
| 1 | 1/6 | 1/6 |
| 2 | 1/6 | 2/6 |
| 3 | 1/6 | 3/6 |
| 4 | 1/6 | 4/6 |
| 5 | 1/6 | 5/6 |
| 6 | 1/6 | 6/6 |
$$
E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5
$$
四、总结
数学期望是概率论中的基本概念，用于描述随机变量的平均表现。无论是离散型还是连续型随机变量，计算数学期望的核心思想都是将每个可能的取值与其发生的概率相乘，再求和。
通过表格形式展示计算过程，有助于更清晰地理解和掌握数学期望的计算方法。实际应用中，数学期望常用于风险评估、投资决策、游戏设计等领域，具有广泛的现实意义。
数学期望怎么求？答案就是：确定所有可能的取值及其概率，然后进行加权求和。
