【向量叉乘的公式】向量叉乘是向量代数中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。它用于计算两个向量之间的垂直向量，并且其大小与两个向量所形成的平行四边形面积有关。本文将对向量叉乘的基本公式进行总结，并通过表格形式清晰展示其运算规则。

一、基本定义

设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃) 是三维空间中的两个向量，它们的叉乘结果是一个新的向量 c = a × b，该向量满足以下性质：

- 方向：垂直于向量 a 和 b 所在的平面；

- 大小：等于 absinθ（θ 为两向量夹角）；

- 右手定则：右手四指从 a 转向 b 的方向，拇指指向 c 的方向。

二、叉乘公式

向量 a × b 的计算公式如下：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

$$

展开后得到：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

或者写成坐标形式：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\left( a_2b_3 - a_3b_2,\quad a_3b_1 - a_1b_3,\quad a_1b_2 - a_2b_1 \right)

$$

三、叉乘的性质总结

四、示例计算

设向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，则：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

(2×6 - 3×5, \quad 3×4 - 1×6, \quad 1×5 - 2×4) = (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8) = (-3, 6, -3)

$$

五、应用领域

- 物理：计算力矩、磁力等；

- 计算机图形学：确定法线方向；

- 工程力学：分析结构受力；

- 数学：研究向量空间的几何关系。

通过以上内容可以看出，向量叉乘不仅有明确的数学表达式，还具有丰富的几何意义和实际应用价值。掌握其公式和性质有助于更深入地理解向量在三维空间中的行为。