【向量叉乘公式】在三维几何和物理中，向量叉乘是一种重要的运算方式，常用于计算两个向量之间的垂直方向、面积、力矩等。叉乘的结果是一个与原向量都垂直的向量，其方向由右手定则决定，大小则由两个向量的模长及夹角的正弦值决定。
一、向量叉乘的基本定义
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和向量 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的叉乘记作 a × b，结果是一个向量，其公式如下：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
即：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left( a_2b_3 - a_3b_2, \; a_3b_1 - a_1b_3, \; a_1b_2 - a_2b_1 \right)
$$
二、叉乘的性质总结
| 性质 | 描述 | ||||||
| 1. 反交换性 | $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a}) $ | ||||||
| 2. 分配律 | $ \mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c} $ | ||||||
| 3. 标量倍数 | $ k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b}) $ | ||||||
| 4. 与自身叉乘 | $ \mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0} $ | ||||||
| 5. 模长意义 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta $，其中θ为两向量夹角 |
三、叉乘的应用场景
| 应用场景 | 说明 |
| 计算面积 | 两个向量构成的平行四边形面积等于其叉乘的模长 |
| 力矩计算 | 在力学中，力矩是位置向量与力向量的叉乘 |
| 垂直方向 | 叉乘结果向量与原两向量垂直，可用于确定法线方向 |
| 三维旋转 | 在计算机图形学中，叉乘用于计算旋转轴 |
四、叉乘与点乘的区别
| 项目 | 叉乘 | 点乘 |
| 结果类型 | 向量 | 标量 |
| 方向 | 垂直于两向量 | 无方向 |
| 公式形式 | 行列式展开 | 各分量对应相乘求和 |
| 几何意义 | 垂直方向、面积 | 夹角余弦值、投影长度 |
通过以上内容可以看出，向量叉乘不仅是数学中的重要工具，也在物理、工程、计算机图形学等多个领域中有着广泛的应用。掌握其公式和性质，有助于更深入地理解空间向量关系。
