【泰勒展开式常用公式】泰勒展开式是数学中一种重要的近似方法，广泛应用于微积分、物理、工程等领域。它通过将一个函数在某一点附近用无限项的多项式来表示，从而更方便地进行计算和分析。以下是常见的泰勒展开式公式总结，适用于不同类型的函数。
一、泰勒展开式的基本形式
泰勒展开式的通用形式为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots
$$
当 $ a = 0 $ 时，称为麦克劳林展开式（Maclaurin series）。
二、常见函数的泰勒展开式
以下是一些常用函数的泰勒展开式（以 $ x = 0 $ 为中心）：
| 函数 | 泰勒展开式（麦克劳林级数） | 收敛区间 | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} $ | $ (-1, 1] $ | ||
| $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} $ | $ [-1, 1] $ | ||
| $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n $ | $ | x | < 1 $ |
三、说明与应用
1. 收敛性：每个展开式的收敛区间不同，使用时需注意其适用范围。
2. 近似计算：泰勒展开可以用于数值计算中的近似，如计算 $ \sin x $ 或 $ \ln(1+x) $ 的值。
3. 函数分析：通过展开式可以了解函数的局部性质，如导数、极值点等。
四、小结
泰勒展开式是一种强大的数学工具，能够将复杂的函数转化为多项式形式，便于计算和理解。掌握常用函数的泰勒展开式有助于提高数学建模、物理仿真和工程计算的能力。本文列举了多个常见函数的展开式，并附有简要说明，希望对学习者有所帮助。
