【泰勒公式常用展开式】泰勒公式是数学分析中的重要工具，用于将一个可导函数在某一点附近用多项式来近似表示。它在微积分、物理、工程等领域有广泛应用。常见的泰勒展开式包括麦克劳林公式（即在0点处的泰勒展开），下面对一些常用的泰勒展开式进行总结。
一、常见函数的泰勒展开式
以下为几个常见函数在 $ x = 0 $ 处的泰勒展开式（即麦克劳林展开式）：
| 函数 | 泰勒展开式（至 $ x^n $ 项） | 收敛区间 | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k} + \cdots $ | $ (-1, 1] $ | ||
| $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} + \cdots $ | $ [-1, 1] $ | ||
| $ (1+x)^a $ | $ 1 + a x + \frac{a(a-1)}{2!} x^2 + \cdots + \frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!} x^n + \cdots $ | $ (-1, 1) $（当 $ a $ 不为整数时） | ||
| $ \frac{1}{1-x} $ | $ 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
| $ \frac{1}{1+x} $ | $ 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^n x^n + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
二、说明与注意事项
1. 收敛性：每个展开式的收敛区间不同，使用时需注意定义域。
2. 奇偶性：如 $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 分别是奇函数和偶函数，其泰勒展开式也体现出这一特性。
3. 应用范围：泰勒展开不仅可用于近似计算，还可用于求极限、解微分方程等。
4. 高阶项处理：实际应用中，可根据需要截断到一定次数，以提高计算效率。
通过掌握这些常用函数的泰勒展开式，可以更高效地处理复杂的数学问题，尤其是在工程计算和数值分析中具有重要意义。建议结合具体问题灵活运用，避免盲目套用公式。
