【求导公式大全高等数学】在高等数学的学习过程中，导数是一个非常重要的概念。它不仅用于研究函数的变化率，还在物理、工程、经济学等多个领域中有着广泛的应用。掌握常见的求导公式是学习微积分的基础。以下是对常见求导公式的总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ y = C $（C为常数） | $ y' = 0 $ |
| $ y = x^n $（n为实数） | $ y' = nx^{n-1} $ |
| $ y = e^x $ | $ y' = e^x $ |
| $ y = a^x $（a>0, a≠1） | $ y' = a^x \ln a $ |
| $ y = \ln x $ | $ y' = \frac{1}{x} $ |
| $ y = \log_a x $ | $ y' = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ |
| $ y = \cos x $ | $ y' = -\sin x $ |
| $ y = \tan x $ | $ y' = \sec^2 x $ |
| $ y = \cot x $ | $ y' = -\csc^2 x $ |
| $ y = \sec x $ | $ y' = \sec x \tan x $ |
| $ y = \csc x $ | $ y' = -\csc x \cot x $ |
二、导数的运算法则
| 法则名称 | 公式 |
| 常数倍法则 | $ (Cu)' = Cu' $ |
| 加减法则 | $ (u \pm v)' = u' \pm v' $ |
| 乘法法则 | $ (uv)' = u'v + uv' $ |
| 商法则 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $（$ v \neq 0 $） |
| 链式法则 | $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
三、高阶导数与隐函数求导
1. 高阶导数
若函数 $ y = f(x) $ 的一阶导数为 $ y' $，二阶导数为 $ y'' $，依此类推：
- $ y'' = (y')' $
- $ y''' = (y'')' $
2. 隐函数求导
对于由方程 $ F(x, y) = 0 $ 所定义的隐函数 $ y = y(x) $，可对两边同时对 $ x $ 求导，解出 $ \frac{dy}{dx} $。
四、参数方程与极坐标求导
1. 参数方程求导
设 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad （\frac{dx}{dt} \neq 0）
$$
2. 极坐标求导
设 $ r = r(\theta) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dr}{d\theta} \sin \theta + r \cos \theta}{\frac{dr}{d\theta} \cos \theta - r \sin \theta}
$$
五、常用导数公式汇总表
| 函数类型 | 函数表达式 | 导数 |
| 常数函数 | $ y = C $ | $ y' = 0 $ |
| 幂函数 | $ y = x^n $ | $ y' = nx^{n-1} $ |
| 指数函数 | $ y = a^x $ | $ y' = a^x \ln a $ |
| 对数函数 | $ y = \ln x $ | $ y' = \frac{1}{x} $ |
| 三角函数 | $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ |
| 三角函数 | $ y = \cos x $ | $ y' = -\sin x $ |
| 反三角函数 | $ y = \arcsin x $ | $ y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| 反三角函数 | $ y = \arccos x $ | $ y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| 反三角函数 | $ y = \arctan x $ | $ y' = \frac{1}{1 + x^2} $ |
结语
掌握这些基本的求导公式和规则，有助于提高解决微积分问题的效率。在实际应用中，还需要结合具体的函数形式和题目要求灵活运用。建议在学习过程中多做练习题，加深对导数的理解和应用能力。
