【求导法则公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的求导法则对于解决数学问题、物理建模以及工程计算都具有重要意义。本文将对常见的求导法则进行总结，并以表格形式展示各法则的表达式和适用条件。
一、基本求导法则
1. 常数法则
若 $ f(x) = c $（c 为常数），则 $ f'(x) = 0 $
2. 幂函数法则
若 $ f(x) = x^n $（n 为实数），则 $ f'(x) = nx^{n-1} $
3. 常数倍数法则
若 $ f(x) = c \cdot g(x) $，则 $ f'(x) = c \cdot g'(x) $
4. 和差法则
若 $ f(x) = g(x) \pm h(x) $，则 $ f'(x) = g'(x) \pm h'(x) $
5. 乘积法则
若 $ f(x) = g(x) \cdot h(x) $，则
$ f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) $
6. 商数法则
若 $ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} $，则
$ f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2} $
7. 链式法则
若 $ f(x) = g(h(x)) $，则
$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $
8. 指数函数求导
若 $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1），则 $ f'(x) = a^x \ln a $
9. 自然指数函数
若 $ f(x) = e^x $，则 $ f'(x) = e^x $
10. 对数函数求导
若 $ f(x) = \ln x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{x} $
11. 三角函数求导
- $ \sin x $ 的导数是 $ \cos x $
- $ \cos x $ 的导数是 $ -\sin x $
- $ \tan x $ 的导数是 $ \sec^2 x $
- $ \cot x $ 的导数是 $ -\csc^2 x $
- $ \sec x $ 的导数是 $ \sec x \tan x $
- $ \csc x $ 的导数是 $ -\csc x \cot x $
二、常见求导法则总结表
| 法则名称 | 函数形式 | 导数公式 |
| 常数法则 | $ f(x) = c $ | $ f'(x) = 0 $ |
| 幂函数法则 | $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| 常数倍数法则 | $ f(x) = c \cdot g(x) $ | $ f'(x) = c \cdot g'(x) $ |
| 和差法则 | $ f(x) = g(x) \pm h(x) $ | $ f'(x) = g'(x) \pm h'(x) $ |
| 乘积法则 | $ f(x) = g(x) \cdot h(x) $ | $ f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x) $ |
| 商数法则 | $ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} $ | $ f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} $ |
| 链式法则 | $ f(x) = g(h(x)) $ | $ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $ |
| 指数函数 | $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| 自然指数函数 | $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| 对数函数 | $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| 三角函数 | $ \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ | |
| $ \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ | |
| $ \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ | |
| $ \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ | |
| $ \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
三、结语
掌握这些基本的求导法则，是进一步学习微积分、应用数学分析的基础。在实际问题中，往往需要结合多个法则进行复合求导。建议多做练习题，熟悉不同函数类型的导数计算方式，从而提升解题效率与准确性。
