【韦达定理所有公式】韦达定理是代数学中一个非常重要的定理，由法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）提出。它主要用于研究多项式根与系数之间的关系。在初中和高中阶段，韦达定理最常应用于一元二次方程的根与系数的关系。但事实上，该定理可以推广到更高次的多项式中。
为了更清晰地展示韦达定理的所有公式，本文将从一元一次方程到高次多项式进行总结，并以表格形式呈现其核心公式。
一、一元一次方程
对于形如：
$$ ax + b = 0 $$
其中 $ a \neq 0 $，解为：
$$ x = -\frac{b}{a} $$
此时，只有一根，因此没有“根与系数”的关系可言。
二、一元二次方程
对于形如：
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
其中 $ a \neq 0 $，设其两根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，则有：
| 公式名称 | 公式表达 |
| 根与系数关系（和） | $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $ |
| 根与系数关系（积） | $ x_1 x_2 = \frac{c}{a} $ |
此外，还可以通过这两个基本关系推导出其他相关公式，例如：
- $ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $
- $ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) $
三、一元三次方程
对于形如：
$$ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $$
设其三根为 $ x_1, x_2, x_3 $，则有：
| 公式名称 | 公式表达 |
| 根的和 | $ x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} $ |
| 根两两之和 | $ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a} $ |
| 根的积 | $ x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a} $ |
四、一元四次方程
对于形如：
$$ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 $$
设其四根为 $ x_1, x_2, x_3, x_4 $，则有：
| 公式名称 | 公式表达 |
| 根的和 | $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a} $ |
| 根两两之和 | $ x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 = \frac{c}{a} $ |
| 根三三之和 | $ x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4 = -\frac{d}{a} $ |
| 根的积 | $ x_1x_2x_3x_4 = \frac{e}{a} $ |
五、一般n次多项式
对于一般的n次多项式：
$$ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 = 0 $$
设其n个根为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，则根据韦达定理，有以下关系：
| 公式名称 | 公式表达 |
| 根的和 | $ x_1 + x_2 + \cdots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} $ |
| 根两两之和 | $ \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j = \frac{a_{n-2}}{a_n} $ |
| 根三三之和 | $ \sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k = -\frac{a_{n-3}}{a_n} $ |
| ... | ... |
| 根的积 | $ x_1 x_2 \cdots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n} $ |
总结
韦达定理不仅适用于二次方程，还能推广到任意次数的多项式中。它揭示了多项式的根与系数之间的深刻联系，是解决多项式问题的重要工具。掌握这些公式有助于我们在实际应用中快速分析和求解多项式问题。
以下是上述内容的简洁表格总结：
| 多项式类型 | 根的数量 | 根的和 | 根的积 | 其他重要关系 |
| 一元一次 | 1 | $ -\frac{b}{a} $ | — | — |
| 一元二次 | 2 | $ -\frac{b}{a} $ | $ \frac{c}{a} $ | $ x_1^2 + x_2^2 $ 等 |
| 一元三次 | 3 | $ -\frac{b}{a} $ | $ -\frac{d}{a} $ | $ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a} $ |
| 一元四次 | 4 | $ -\frac{b}{a} $ | $ \frac{e}{a} $ | 两两、三三之和等 |
| 一般n次 | n | $ -\frac{a_{n-1}}{a_n} $ | $ (-1)^n \frac{a_0}{a_n} $ | 各种组合和 |
通过以上表格，可以系统地了解韦达定理在不同次数多项式中的应用公式。
