【韦达定理8个变形公式推导过程】韦达定理是二次方程中非常重要的一个定理，它揭示了根与系数之间的关系。在实际应用中，为了更灵活地解决相关问题，常需要对韦达定理进行变形和拓展。以下是韦达定理的8个常见变形公式的推导过程，以加表格的形式呈现。
一、韦达定理基础回顾
对于一般的二次方程：
$$
ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)
$$
设其两个根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，则根据韦达定理，有以下基本关系：
- 根的和：$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $
- 根的积：$ x_1 x_2 = \frac{c}{a} $
这些是后续变形的基础。
二、8个变形公式的推导过程（总结）
| 序号 | 变形公式 | 推导过程 |
| 1 | $ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $ | 利用平方展开公式：$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $，代入韦达定理结果即可 |
| 2 | $ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) $ | 使用立方和公式：$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) $ |
| 3 | $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} $ | 将分数通分后得到：$ \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2} $，再代入韦达定理 |
| 4 | $ \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \left( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \right)^2 - 2\cdot\frac{1}{x_1x_2} $ | 类似于平方和公式，先求倒数和，再利用平方差 |
| 5 | $ x_1 - x_2 = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} $ | 由判别式推导：$ (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 $，开根号即得 |
| 6 | $ \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} $ | 将分数合并后化简，利用根的和与积表达 |
| 7 | $ x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2) $ | 提取公共因子 $ x_1x_2 $，简化后即为该形式 |
| 8 | $ x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1x_2 $ | 利用平方和与乘积的关系进行变形 |
三、总结
以上8个变形公式均基于韦达定理的基本关系，通过代数运算和恒等变换推导得出。它们在解题过程中具有广泛的适用性，尤其适用于涉及根的对称函数、根的倒数、根的差值等问题。掌握这些变形公式有助于提高解题效率和思维灵活性。
建议在学习时结合具体例题进行练习，加深理解并熟练运用。
