【数列求和公式】在数学中，数列求和是一个基础且重要的内容。不同的数列类型有不同的求和公式，掌握这些公式有助于快速计算数列的前n项和，提高解题效率。以下是对常见数列求和公式的总结，并以表格形式展示。

一、等差数列求和公式

等差数列是指每一项与前一项的差为定值的数列。设首项为 $ a $，公差为 $ d $，项数为 $ n $，则第 $ n $ 项为 $ a_n = a + (n - 1)d $，其前 $ n $ 项和为：

$$

S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d

$$

或

$$

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

$$

二、等比数列求和公式

等比数列是指每一项与前一项的比为定值的数列。设首项为 $ a $，公比为 $ r $，项数为 $ n $，则前 $ n $ 项和为：

$$

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)

$$

当 $ r < 1 $ 时，无穷等比数列的和为：

$$

S = \frac{a}{1 - r}

$$

三、自然数列求和公式

自然数列是首项为1，公差为1的等差数列。前 $ n $ 项和为：

$$

S_n = \frac{n(n + 1)}{2}

$$

四、平方数列求和公式

平方数列是各项为 $ 1^2, 2^2, 3^2, \ldots, n^2 $ 的数列，其前 $ n $ 项和为：

$$

S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

$$

五、立方数列求和公式

立方数列是各项为 $ 1^3, 2^3, 3^3, \ldots, n^3 $ 的数列，其前 $ n $ 项和为：

$$

S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2

$$

六、其他常见数列求和公式

七、小结

不同类型的数列有其对应的求和公式，理解并熟练掌握这些公式，能够帮助我们在解决实际问题时更高效地进行计算。无论是等差数列、等比数列，还是平方数列、立方数列，都有其独特的规律和应用范围。通过不断练习，可以加深对这些公式的理解和运用能力。