【如何用求根公式解一元二次方程】在数学中，一元二次方程是形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的方程，其中 $ a \neq 0 $。这类方程的解可以通过求根公式（也称为求根公式法）来求得。求根公式是一种通用的方法，适用于所有可解的一元二次方程。
一、求根公式的定义
一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的求根公式为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
其中：
- $ a $ 是二次项系数；
- $ b $ 是一次项系数；
- $ c $ 是常数项；
- $ \sqrt{b^2 - 4ac} $ 称为判别式，记作 $ D $。
二、使用求根公式解题的步骤
1. 确定方程的形式：确保方程是标准形式 $ ax^2 + bx + c = 0 $。
2. 识别系数：找出 $ a $、$ b $、$ c $ 的值。
3. 计算判别式：$ D = b^2 - 4ac $。
4. 判断根的情况：
- 如果 $ D > 0 $，有两个不同的实数根；
- 如果 $ D = 0 $，有一个实数根（即重根）；
- 如果 $ D < 0 $，没有实数根，但有两个共轭复数根。
5. 代入求根公式：根据判别式的结果，代入公式计算两个根。
三、示例解析
以下是一个具体例子，展示如何用求根公式解一元二次方程：
例题：解方程 $ 2x^2 + 5x - 3 = 0 $
| 步骤 | 操作 | 结果 |
| 1 | 确定方程形式 | $ 2x^2 + 5x - 3 = 0 $ |
| 2 | 识别系数 | $ a = 2 $, $ b = 5 $, $ c = -3 $ |
| 3 | 计算判别式 | $ D = 5^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 25 + 24 = 49 $ |
| 4 | 判断根的类型 | $ D > 0 $，有两个不同的实数根 |
| 5 | 代入求根公式 | $ x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \times 2} = \frac{-5 \pm 7}{4} $ |
| 6 | 计算两个根 | $ x_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 $ $ x_2 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 $ |
四、总结
通过使用求根公式，我们可以系统地解决一元二次方程的问题。关键在于正确识别方程中的系数，并准确计算判别式。了解判别式的正负可以提前判断根的性质，从而选择合适的解题方法。
| 项目 | 内容 |
| 方程形式 | $ ax^2 + bx + c = 0 $ |
| 求根公式 | $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ |
| 判别式 | $ D = b^2 - 4ac $ |
| 根的类型 | $ D > 0 $：两个不同实根；$ D = 0 $：一个实根；$ D < 0 $：无实根 |
| 解题步骤 | 识别系数 → 计算判别式 → 代入公式 → 得出结果 |
通过掌握这一方法，学生可以更加灵活地应对各种一元二次方程问题，提升数学思维和运算能力。
