【四阶行列式怎么计算】在数学中，行列式是一个重要的概念，尤其在矩阵运算和线性代数中有着广泛的应用。四阶行列式是4×4矩阵的行列式，计算方法与低阶行列式类似，但步骤更为复杂。本文将总结四阶行列式的计算方法，并通过表格形式直观展示。

一、四阶行列式的定义

四阶行列式是指由4个行和4个列组成的方阵所对应的行列式，记作：

$$

\begin{vmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\

a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}

\end{vmatrix}

$$

其值为所有可能的排列乘积之和，符号由排列的奇偶性决定。

二、四阶行列式的计算方法

四阶行列式的计算通常采用余子式展开法（按行或按列展开），或者使用三角化法（将矩阵转化为上三角矩阵），后者更高效。

方法一：余子式展开法

以第一行为例，四阶行列式可展开为：

$$

\sum_{j=1}^{4} (-1)^{1+j} \cdot a_{1j} \cdot M_{1j}

$$

其中，$M_{1j}$ 是去掉第1行第j列后的三阶行列式（即余子式）。

方法二：三角化法

通过行变换将原矩阵转化为上三角矩阵，行列式的值等于主对角线元素的乘积。

三、四阶行列式的计算步骤（以余子式展开为例）

四、三阶行列式计算示例（用于四阶行列式计算）

三阶行列式公式如下：

$$

\begin{vmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i

\end{vmatrix}

= a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

$$

五、四阶行列式计算示例

假设我们有以下四阶矩阵：

$$

A =

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

5 & 6 & 7 & 8 \\

9 & 10 & 11 & 12 \\

13 & 14 & 15 & 16

\end{bmatrix}

$$

我们可以按第一行展开：

$$

\text{det}(A) = 1 \cdot M_{11} - 2 \cdot M_{12} + 3 \cdot M_{13} - 4 \cdot M_{14}

$$

其中：

- $M_{11} = \begin{vmatrix} 6 & 7 & 8 \\ 10 & 11 & 12 \\ 14 & 15 & 16 \end{vmatrix}$

- $M_{12} = \begin{vmatrix} 5 & 7 & 8 \\ 9 & 11 & 12 \\ 13 & 15 & 16 \end{vmatrix}$

- $M_{13} = \begin{vmatrix} 5 & 6 & 8 \\ 9 & 10 & 12 \\ 13 & 14 & 16 \end{vmatrix}$

- $M_{14} = \begin{vmatrix} 5 & 6 & 7 \\ 9 & 10 & 11 \\ 13 & 14 & 15 \end{vmatrix}$

分别计算这些三阶行列式，再带入公式即可得到最终结果。

六、总结

如需进一步了解三阶行列式的详细计算或四阶行列式的其他解法，请继续关注相关文章。