【三角变换公式】在数学学习中，三角函数及其变换是基础而重要的内容，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握常见的三角变换公式，有助于简化计算、解决复杂问题。以下是对常用三角变换公式的总结，并通过表格形式进行清晰展示。
一、基本三角恒等式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 勾股恒等式 | $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 最基本的三角恒等式 |
| 正切与余切关系 | $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$, $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$ | 用于转换正切和余切 |
| 正割与余割关系 | $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$, $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$ | 反函数关系 |
二、角度加减法公式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 正弦加法公式 | $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ | 用于计算两个角的正弦和 |
| 正弦减法公式 | $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ | 用于计算两个角的正弦差 |
| 余弦加法公式 | $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ | 用于计算两个角的余弦和 |
| 余弦减法公式 | $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ | 用于计算两个角的余弦差 |
| 正切加法公式 | $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ | 用于计算两个角的正切和 |
| 正切减法公式 | $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ | 用于计算两个角的正切差 |
三、倍角公式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 正弦倍角公式 | $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ | 用于计算两倍角的正弦值 |
| 余弦倍角公式 | $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ 或 $2\cos^2\theta - 1$ 或 $1 - 2\sin^2\theta$ | 有多种表达方式，适用于不同情境 |
| 正切倍角公式 | $\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 用于计算两倍角的正切值 |
四、半角公式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 正弦半角公式 | $\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ | 根据象限选择正负号 |
| 余弦半角公式 | $\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ | 同样根据象限选择符号 |
| 正切半角公式 | $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$ 或 $\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ | 提供两种表达方式 |
五、积化和差与和差化积公式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 积化和差（正弦） | $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ | 将乘积转化为和的形式 |
| 积化和差（余弦） | $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ | 用于余弦乘积的转化 |
| 积化和差（正弦） | $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ | 用于正弦乘积的转化 |
| 和差化积（正弦） | $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 将和转化为乘积 |
| 和差化积（余弦） | $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 同样用于余弦的和转积 |
总结
三角变换公式是解决三角函数相关问题的重要工具。通过灵活运用这些公式，可以将复杂的表达式简化，提高解题效率。建议在实际应用中结合图形理解其意义，同时注意角的象限对符号的影响。掌握这些公式，有助于提升数学思维能力和解题技巧。
