【全微分方程的通解公式】在常微分方程中，全微分方程是一类特殊的方程，其形式为：
$$
M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy = 0
$$
当该方程满足一定条件时，即存在一个函数 $ U(x, y) $，使得：
$$
\frac{\partial U}{\partial x} = M(x, y), \quad \frac{\partial U}{\partial y} = N(x, y)
$$
则称该方程为全微分方程（或恰当方程），此时方程的通解为：
$$
U(x, y) = C
$$
其中 $ C $ 为任意常数。
全微分方程的判定条件
判断一个方程是否为全微分方程的关键在于验证以下条件：
$$
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
$$
若该等式成立，则原方程是全微分方程；否则，需要引入积分因子将其转化为全微分方程。
求解全微分方程的步骤
1. 验证全微分条件：计算 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial N}{\partial x}$，若相等，则继续。
2. 构造势函数 $U(x, y)$：
- 从 $\frac{\partial U}{\partial x} = M(x, y)$ 积分得到 $U(x, y)$，保留关于 $y$ 的任意函数。
- 再对 $U(x, y)$ 关于 $y$ 求偏导，与 $N(x, y)$ 对比，确定任意函数的形式。
3. 写出通解：将 $U(x, y)$ 设为常数，即为方程的通解。
全微分方程通解公式总结
| 步骤 | 内容 |
| 1. 方程形式 | $ M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy = 0 $ |
| 2. 判定条件 | $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ |
| 3. 构造函数 | 存在 $U(x, y)$，使得 $\frac{\partial U}{\partial x} = M$, $\frac{\partial U}{\partial y} = N$ |
| 4. 通解表达式 | $ U(x, y) = C $，其中 $C$ 为任意常数 |
示例说明
考虑方程：
$$
(2x + y) \, dx + (x + 3y^2) \, dy = 0
$$
- 计算偏导数：
$$
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 1
$$
满足全微分条件。
- 构造 $U(x, y)$：
$$
\frac{\partial U}{\partial x} = 2x + y \Rightarrow U = x^2 + xy + f(y)
$$
再对 $y$ 求偏导：
$$
\frac{\partial U}{\partial y} = x + f'(y) = x + 3y^2 \Rightarrow f'(y) = 3y^2 \Rightarrow f(y) = y^3
$$
- 最终通解为：
$$
x^2 + xy + y^3 = C
$$
通过上述方法，可以系统地求解全微分方程，并得到其通解。掌握这一过程有助于理解更复杂的微分方程类型及其解法。
