在数学领域，正交矩阵是一个非常重要的概念，尤其是在线性代数和几何学中。它不仅具有许多优雅的性质，还广泛应用于物理学、计算机科学等领域。其中一个关键特性就是它的特征值只能是实数，并且必须满足某种特定的形式。那么，为什么正交矩阵的特征值一定是±1呢？接下来，我们将从定义出发，逐步揭开这个谜题。
一、正交矩阵的定义
首先，我们需要明确什么是正交矩阵。一个方阵 \( Q \) 被称为正交矩阵，当且仅当它满足以下条件：
\[
Q^T Q = I
\]
其中 \( Q^T \) 表示矩阵 \( Q \) 的转置，\( I \) 是单位矩阵。直观上，这意味着正交矩阵保持向量的长度不变，同时保留向量之间的夹角。换句话说，正交变换是一种保距变换。
二、特征值的基本性质
对于任意方阵 \( A \)，如果存在非零向量 \( v \) 和标量 \( \lambda \)，使得
\[
A v = \lambda v
\]
则称 \( \lambda \) 为矩阵 \( A \) 的特征值，而 \( v \) 称为其对应的特征向量。
结合正交矩阵的定义，我们有：
\[
Q^T Q = I
\]
将等式两边同时作用于特征向量 \( v \)，得到：
\[
Q^T Q v = v
\]
由于 \( Q v = \lambda v \)，我们可以将其代入上式：
\[
Q^T (\lambda v) = v
\]
进一步整理得：
\[
\lambda (Q^T v) = v
\]
注意到 \( Q^T v \) 仍然是 \( v \) 的某种线性组合，因此可以写成：
\[
Q^T v = \frac{v}{\lambda}
\]
三、模长的约束
正交矩阵的一个重要性质是它不会改变向量的模长。也就是说，对于任何向量 \( v \)，都有：
\[
\|Qv\| = \|v\|
\]
利用这一性质，我们可以推导出关于特征值 \( \lambda \) 的限制条件。
假设 \( v \) 是矩阵 \( Q \) 的特征向量，对应的特征值为 \( \lambda \)，则：
\[
\|Qv\| = \|\lambda v\| = |\lambda| \|v\|
\]
另一方面，由于 \( Q \) 是正交矩阵，我们有：
\[
\|Qv\| = \|v\|
\]
因此：
\[
|\lambda| \|v\| = \|v\|
\]
因为 \( v \neq 0 \)，所以可以消去 \( \|v\| \)，得到：
\[
|\lambda| = 1
\]
四、特征值的具体形式
上述推导表明，正交矩阵的所有特征值的模长都必须等于 1。然而，这并不意味着特征值只能是 ±1。实际上，特征值可以是复数，但它们必须满足模长为 1 的条件。换句话说，特征值可以表示为单位圆上的点，即：
\[
\lambda = e^{i\theta}, \quad \theta \in \mathbb{R}
\]
但是，在某些特殊情况下，比如实正交矩阵（即所有元素均为实数的正交矩阵），其特征值必须是实数。结合模长为 1 的条件，实正交矩阵的特征值只能是 ±1。
五、几何意义与应用
从几何角度来看，正交矩阵对应的是旋转或反射操作。旋转操作通常会引入复数特征值（如单位圆上的点），而反射操作则会导致特征值为 ±1。这种特性使得正交矩阵在实际问题中有很强的应用价值，例如在量子力学中描述对称变换，在图形学中实现旋转和平移等操作。
六、总结
综上所述，正交矩阵的特征值之所以是 ±1，主要是由其定义和模长约束共同决定的。具体来说：
1. 正交矩阵满足 \( Q^T Q = I \)，保证了向量模长不变；
2. 特征值的模长必须为 1；
3. 在实正交矩阵的情况下，特征值只能是 ±1。
这一结论不仅揭示了正交矩阵的内在性质，也为我们在更高维度的空间中理解线性变换提供了深刻的洞见。
