【特征值求特征向量】在矩阵理论中，特征值与特征向量是重要的概念，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。特征值和特征向量可以帮助我们理解线性变换的本质，例如旋转、缩放等。本文将总结如何通过已知的特征值来求解对应的特征向量。
一、基本概念
- 特征值（Eigenvalue）：设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，若存在一个标量 $ \lambda $ 和一个非零向量 $ \mathbf{v} $，使得：
$$
A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
$$
则称 $ \lambda $ 是矩阵 $ A $ 的一个特征值，$ \mathbf{v} $ 是对应于 $ \lambda $ 的特征向量。
- 特征方程：为了找到特征值，我们需要解以下方程：
$$
\det(A - \lambda I) = 0
$$
其中 $ I $ 是单位矩阵，该方程称为特征方程。
二、求特征向量的步骤
1. 求特征值：根据特征方程 $ \det(A - \lambda I) = 0 $，求出所有可能的 $ \lambda $ 值。
2. 代入每个特征值：对于每一个特征值 $ \lambda $，构造矩阵 $ A - \lambda I $。
3. 求解齐次方程组：解方程组 $ (A - \lambda I)\mathbf{v} = 0 $，得到特征向量 $ \mathbf{v} $。
4. 确定特征向量空间：特征向量构成一个向量空间，即矩阵 $ A - \lambda I $ 的零空间。
三、示例说明
假设矩阵为：
$$
A = \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{bmatrix}
$$
步骤1：求特征值
计算特征方程：
$$
\det(A - \lambda I) = \det\left( \begin{bmatrix}
2 - \lambda & 1 \\
1 & 2 - \lambda
\end{bmatrix} \right)
= (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3
$$
解得特征值为：
$$
\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 3
$$
步骤2：求对应特征向量
对于 $ \lambda_1 = 1 $：
构造矩阵：
$$
A - \lambda_1 I = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
$$
解方程组：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0 \\
\end{bmatrix}
$$
得到方程：$ x + y = 0 $，即 $ y = -x $，所以特征向量可以取为：
$$
\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}
1 \\
-1
\end{bmatrix}
$$
对于 $ \lambda_2 = 3 $：
构造矩阵：
$$
A - \lambda_2 I = \begin{bmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1
\end{bmatrix}
$$
解方程组：
$$
\begin{bmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0 \\
\end{bmatrix}
$$
得到方程：$ -x + y = 0 $，即 $ y = x $，所以特征向量可以取为：
$$
\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix}
$$
四、总结表格
| 特征值 | 对应特征向量 |
| 1 | $\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}$ |
| 3 | $\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}$ |
五、注意事项
- 特征向量不唯一，任何非零倍数都是同一特征值的特征向量。
- 若矩阵有重复特征值，需要检查其对应的特征向量是否独立。
- 特征向量通常用于对角化矩阵或进行主成分分析等应用。
通过以上步骤，我们可以系统地从已知的特征值出发，求得相应的特征向量，从而更深入地理解矩阵的性质和结构。
