【复数乘法法则】在数学中，复数是实数与虚数的结合体，形式为 $ a + bi $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。复数的乘法运算是复数运算中的重要部分，掌握其法则有助于更深入地理解复数的性质和应用。
复数乘法的基本规则是将两个复数相乘时，使用分配律展开，并将结果中的 $ i^2 $ 替换为 $ -1 $，最后合并同类项。具体来说，若有两个复数 $ z_1 = a + bi $ 和 $ z_2 = c + di $，它们的乘积为：
$$
z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
$$
下面通过一个表格总结复数乘法的步骤和关键点：
| 步骤 | 操作 | 说明 |
| 1 | 展开乘法 | 使用分配律，将两个复数相乘，如：$ (a + bi)(c + di) $ |
| 2 | 计算各项 | 分别计算 $ ac $、$ adi $、$ bci $、$ bdi^2 $ |
| 3 | 替换 $ i^2 $ | 将 $ i^2 $ 替换为 $ -1 $，即 $ bdi^2 = -bd $ |
| 4 | 合并实部与虚部 | 实部为 $ ac - bd $，虚部为 $ ad + bc $ |
| 5 | 写成标准形式 | 最终结果为 $ (ac - bd) + (ad + bc)i $ |
例如，若 $ z_1 = 2 + 3i $，$ z_2 = 1 + 4i $，则：
$$
(2 + 3i)(1 + 4i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4i + 3i \cdot 1 + 3i \cdot 4i = 2 + 8i + 3i + 12i^2
$$
$$
= 2 + 11i + 12(-1) = 2 + 11i - 12 = -10 + 11i
$$
通过以上方法，可以系统地进行复数的乘法运算，避免因混淆实部与虚部而出现错误。
总之，复数乘法虽然涉及虚数单位 $ i $，但只要按照分配律逐步展开，并注意替换 $ i^2 $ 的值，就能准确得出结果。这一法则不仅在数学理论中具有重要意义，在工程、物理等实际应用中也广泛应用。
