【特征函数的定义】在概率论与数理统计中，特征函数是一个非常重要的工具，用于描述随机变量的分布特性。它通过将概率分布转换为复数域上的函数来提供更灵活的分析手段，尤其在处理独立随机变量的和、极限定理以及分布的识别等方面具有显著优势。
一、特征函数的基本概念
定义：设 $ X $ 是一个实值随机变量，其概率分布为 $ F(x) $，则 $ X $ 的特征函数（Characteristic Function）定义为：
$$
\phi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}
$$
其中，$ i $ 是虚数单位，$ t \in \mathbb{R} $ 是实数参数。
如果 $ X $ 具有概率密度函数 $ f(x) $，则特征函数也可以表示为：
$$
\phi_X(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} f(x) dx
$$
二、特征函数的性质
| 特性 | 描述 |
| 1. 唯一性 | 如果两个随机变量的特征函数相同，则它们的分布也相同。 |
| 2. 在原点处的值 | $\phi_X(0) = 1$，因为 $ e^{i0X} = 1 $，期望为 1。 |
| 3. 连续性 | 特征函数是连续的，并且在某些条件下可导。 |
| 4. 对称性 | 若 $ X $ 是对称分布，则 $\phi_X(-t) = \overline{\phi_X(t)}$（共轭对称）。 |
| 5. 独立性 | 若 $ X $ 和 $ Y $ 独立，则 $ \phi_{X+Y}(t) = \phi_X(t) \cdot \phi_Y(t) $。 |
三、常见分布的特征函数
| 分布名称 | 概率密度函数或分布律 | 特征函数 |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \phi(t) = e^{i\mu t - \frac{1}{2} \sigma^2 t^2} $ |
| 指数分布 $ \text{Exp}(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x \geq 0 $ | $ \phi(t) = \frac{\lambda}{\lambda - it} $ |
| 伯努利分布 $ \text{Bern}(p) $ | $ P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p $ | $ \phi(t) = 1 - p + pe^{it} $ |
| 泊松分布 $ \text{Pois}(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} $ | $ \phi(t) = e^{\lambda(e^{it} - 1)} $ |
四、总结
特征函数是研究随机变量分布的一种有力工具，它不仅能够唯一确定一个分布，还便于进行数学运算和分析。相比矩生成函数，特征函数在处理非对称分布或无矩的情况时更具优势。掌握特征函数的定义及其性质，有助于深入理解概率理论和统计推断中的许多核心问题。
