【指数分布期望方差是怎么证明的】指数分布是概率论与数理统计中常见的连续型概率分布，常用于描述事件发生的时间间隔。例如，电话呼叫到达时间、设备故障时间等都可以用指数分布来建模。本文将对指数分布的期望和方差进行推导，并以总结加表格的形式呈现结果。
一、指数分布的基本概念
设随机变量 $ X \sim \text{Exp}(\lambda) $，其概率密度函数（PDF）为：
$$
f(x) =
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\
0, & x < 0
\end{cases}
$$
其中，$ \lambda > 0 $ 是分布的参数，表示单位时间内的平均发生次数。
二、期望的证明
期望（均值）定义为：
$$
E(X) = \int_{0}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx = \int_{0}^{\infty} x \cdot \lambda e^{-\lambda x} \, dx
$$
使用分部积分法，令 $ u = x $，$ dv = \lambda e^{-\lambda x} dx $，则：
- $ du = dx $
- $ v = -e^{-\lambda x} $
根据分部积分公式 $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $，得：
$$
E(X) = \left[ -x e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x} dx
$$
第一项在 $ x=0 $ 时为 0，在 $ x \to \infty $ 时趋于 0，因此第一项为 0。
第二项为：
$$
\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x} dx = \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} = \frac{1}{\lambda}
$$
所以：
$$
E(X) = \frac{1}{\lambda}
$$
三、方差的证明
方差定义为：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
先计算 $ E(X^2) $：
$$
E(X^2) = \int_{0}^{\infty} x^2 \cdot \lambda e^{-\lambda x} dx
$$
同样使用分部积分法，令 $ u = x^2 $，$ dv = \lambda e^{-\lambda x} dx $，则：
- $ du = 2x dx $
- $ v = -e^{-\lambda x} $
$$
E(X^2) = \left[ -x^2 e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} + \int_{0}^{\infty} 2x e^{-\lambda x} dx
$$
第一项仍为 0，第二项为：
$$
2 \int_{0}^{\infty} x e^{-\lambda x} dx = 2 \cdot \frac{1}{\lambda^2}
$$
因此：
$$
E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}
$$
代入方差公式：
$$
\text{Var}(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \left( \frac{1}{\lambda} \right)^2 = \frac{1}{\lambda^2}
$$
四、总结
| 指标 | 公式 | 说明 |
| 期望 | $ E(X) = \frac{1}{\lambda} $ | 表示事件发生的平均时间间隔 |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2} $ | 表示时间间隔的离散程度 |
五、小结
指数分布的期望和方差可以通过积分计算得出，其结果简洁且具有实际意义。期望反映了事件发生的平均时间，而方差则体现了时间的波动性。这些性质使得指数分布在可靠性分析、排队论、寿命测试等领域广泛应用。
