设长方体的长和宽为 \(a\) 厘米（因为变成正方体后长和宽相等），高为 \(h\) 厘米。根据题意，增高后的高度为 \(h+2\) 厘米，并且此时变成了正方体，因此有：
\[ a = h + 2 \]
原长方体的表面积为：
\[ S_1 = 2(ab + ah + bh) = 2(a^2 + ah + ah) = 2(a^2 + 2ah) \]
变为正方体后的表面积为：
\[ S_2 = 6a^2 \]
根据题意，表面积增加了64平方厘米，即：
\[ S_2 - S_1 = 64 \]
代入上述公式：
\[ 6a^2 - 2(a^2 + 2ah) = 64 \]
\[ 6a^2 - 2a^2 - 4ah = 64 \]
\[ 4a^2 - 4ah = 64 \]
\[ a^2 - ah = 16 \]
由于 \(a = h + 2\)，代入得到：
\[ (h+2)^2 - (h+2)h = 16 \]
\[ h^2 + 4h + 4 - h^2 - 2h = 16 \]
\[ 2h + 4 = 16 \]
\[ 2h = 12 \]
\[ h = 6 \]
所以，长方体的原始高度为6厘米，长和宽为 \(h+2 = 8\) 厘米。
最终答案是：长方体的长和宽为8厘米，高为6厘米。
