【微积分入门基本公式】微积分是数学中非常重要的分支，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。对于初学者来说，掌握一些基本的微积分公式是非常必要的。本文将对微积分中的基本概念和常用公式进行简要总结，并以表格形式清晰展示。
一、导数的基本公式
导数是研究函数变化率的重要工具。以下是常见的导数公式：
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
二、积分的基本公式
积分是导数的逆运算，用于计算面积、体积等。以下是一些常见函数的不定积分公式：
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ f(x) = c $ | $ \int c \, dx = cx + C $ | ||
| $ f(x) = x^n $（n ≠ -1） | $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $ | ||
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x \, dx = \sin x + C $ | ||
| $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x \, dx = e^x + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln | x | + C $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $ |
三、基本运算法则
在实际应用中，常常需要结合多个函数进行求导或积分，以下是一些常用的运算法则：
1. 导数法则：
- 和差法则：$ (f \pm g)' = f' \pm g' $
- 乘积法则：$ (fg)' = f'g + fg' $
- 商法则：$ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $
- 链式法则：若 $ y = f(g(x)) $，则 $ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $
2. 积分法则：
- 线性性：$ \int [af(x) + bg(x)] \, dx = a \int f(x) \, dx + b \int g(x) \, dx $
- 换元积分法：令 $ u = g(x) $，则 $ \int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du $
- 分部积分法：$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $
四、总结
微积分的核心在于理解导数与积分的概念及其相互关系。通过掌握上述基本公式和运算法则，可以为进一步学习更复杂的微积分内容打下坚实的基础。建议初学者多做练习题，加深对公式的理解和应用能力。
附录：常见函数导数与积分对照表
| 函数 | 导数 | 积分 |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ | $ -\cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ | $ \sin x $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ | $ x \ln x - x $ |
| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ | $ \frac{a^x}{\ln a} $ |
通过以上内容的整理与归纳，希望可以帮助初学者更好地理解微积分的基本概念和公式，为后续深入学习提供参考。
