【arctanx的不定积分怎么求】在微积分中，求函数的不定积分是一个常见但需要技巧的问题。对于反三角函数 $ \arctan x $ 的不定积分，虽然看起来简单，但实际计算过程中需要用到分部积分法。下面将对“arctanx的不定积分怎么求”这一问题进行总结，并通过表格形式清晰展示关键步骤和结果。

一、基本思路

要计算 $ \int \arctan x \, dx $，我们可以使用分部积分法（Integration by Parts），其公式为：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

我们设：

- $ u = \arctan x $

- $ dv = dx $

则：

- $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $

- $ v = x $

代入分部积分公式得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

接下来只需要计算 $ \int \frac{x}{1 + x^2} dx $，这个可以通过换元法解决。

二、计算过程

1. 分部积分：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

2. 换元法计算第二项：

设 $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x dx $，即 $ x dx = \frac{dt}{2} $，所以：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln t + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

3. 合并结果：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

三、总结表格

四、结论

通过分部积分与换元法的结合，可以得出 $ \arctan x $ 的不定积分为：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

这是一个标准且常见的积分结果，在高等数学和工程计算中广泛应用。理解这一过程有助于掌握处理类似反三角函数积分的方法。