【行列式的基本计算公式】行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于矩阵运算、解线性方程组、求逆矩阵以及判断矩阵的可逆性等问题中。行列式的计算方法根据矩阵的阶数不同而有所区别。以下是对行列式基本计算公式的总结，便于理解和应用。

一、行列式的定义

对于一个 $ n \times n $ 的方阵 $ A = (a_{ij}) $，其行列式记作 $ A $ 或 $ \det(A) $，是一个与矩阵元素相关的标量值，具有一定的代数性质和几何意义（如面积或体积）。

二、行列式的基本计算公式

以下是几种常见矩阵阶数下的行列式计算公式：

1. 1×1 矩阵

$$

\begin{vmatrix}

a

\end{vmatrix} = a

$$

2. 2×2 矩阵

$$

\begin{vmatrix}

a & b \\

c & d

\end{vmatrix} = ad - bc

$$

3. 3×3 矩阵（Sarrus法则或展开法）

Sarrus法则：

$$

\begin{vmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i

\end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

$$

展开法（按第一行展开）：

$$

= a \cdot \begin{vmatrix}

e & f \\

h & i

\end{vmatrix}

- b \cdot \begin{vmatrix}

d & f \\

g & i

\end{vmatrix}

+ c \cdot \begin{vmatrix}

d & e \\

g & h

\end{vmatrix}

$$

4. n×n 矩阵（余子式展开法）

对于任意 $ n \times n $ 矩阵 $ A $，可以按某一行或某一列进行展开：

$$

\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}

$$

其中，$ M_{ij} $ 是去掉第 $ i $ 行第 $ j $ 列后的余子式。

三、行列式的性质（简要总结）

四、行列式计算表格汇总

五、总结

行列式的计算是线性代数的基础内容之一，掌握其基本公式和性质有助于更深入地理解矩阵的结构和变换。对于低阶矩阵，可以直接使用公式计算；而对于高阶矩阵，则通常采用余子式展开、行变换或利用计算机辅助计算等方式。熟练掌握这些方法，能够提高解决实际问题的效率和准确性。