【arcsinx求导后是啥】在微积分中，反三角函数的求导是一个重要的知识点。其中，arcsinx（即反正弦函数）的导数是数学学习中的常见问题。本文将对 arcsinx 的导数 进行简要总结，并通过表格形式清晰展示其导数公式及推导思路。
一、arcsinx 的导数
设 $ y = \arcsin x $，则根据反函数的求导法则，可以得到：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{d}{dy}(\sin y)} = \frac{1}{\cos y}
$$
由于 $ y = \arcsin x $，所以 $ \sin y = x $，由三角恒等式可得：
$$
\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}
$$
因此，
$$
\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
需要注意的是，该导数的定义域为 $ x \in (-1, 1) $，且导数在 $ x = \pm1 $ 处不存在。
二、总结与对比表
| 函数名称 | 表达式 | 导数表达式 | 定义域 |
| arcsinx | $ \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ x \in (-1, 1) $ |
三、小结
- arcsinx 的导数是 $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $。
- 在实际应用中，这个导数常用于求解含有反三角函数的积分和微分问题。
- 推导过程中需要用到反函数求导法以及三角恒等式。
如果你正在学习微积分或准备考试，掌握这些基本导数公式是非常有帮助的。希望这篇文章能为你提供清晰的参考。
