【tanx的导数是什么】在微积分中，求函数的导数是研究函数变化率的重要方法。对于三角函数中的正切函数 tanx，其导数是一个基础但非常重要的知识点。下面我们将从定义出发，总结 tanx 的导数，并以表格形式清晰展示相关内容。
一、tanx 的导数公式
正切函数 tanx 的导数为：
$$
\frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x
$$
其中，secx 是正割函数，定义为：
$$
\sec x = \frac{1}{\cos x}
$$
因此，也可以将导数写成：
$$
\frac{d}{dx} \tan x = \frac{1}{\cos^2 x}
$$
这个结果可以通过基本的导数法则和三角恒等式推导得出。
二、推导过程简要说明（非重点）
为了理解为什么 tanx 的导数是 sec²x，我们可以使用商数法则。因为：
$$
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
$$
应用商数法则：
$$
\frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right) = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}
$$
利用恒等式 $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$，得到：
$$
\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x
$$
三、常见三角函数导数对比表
| 函数 | 导数 | 备注 |
| sinx | cosx | 基本三角函数导数 |
| cosx | -sinx | 可通过导数规则推导 |
| tanx | sec²x | 本题重点 |
| cotx | -csc²x | 与 tanx 对称 |
| secx | secx tanx | 需注意符号 |
| cscx | -cscx cotx | 与 secx 类似 |
四、总结
tanx 的导数是 sec²x，这是微积分中最常用的基本导数之一。掌握这一结果有助于进一步学习更复杂的三角函数导数以及应用在物理、工程等领域的实际问题中。通过表格形式可以快速查阅各种常见三角函数的导数，便于记忆和复习。
如需进一步了解其他函数的导数或相关应用，可继续深入学习微分法则与三角恒等式。
