在物理学的学习过程中，万有引力是一个非常重要的知识点。它不仅涉及到天体运动的基本原理，还与日常生活中的许多现象密切相关。为了帮助大家更好地理解这一概念，下面我们通过几个典型的例题来深入探讨。

例题一：地球表面重力加速度的计算

假设已知地球的质量 \(M = 5.98 \times 10^{24}\) 千克，半径 \(R = 6.37 \times 10^6\) 米，试求地球表面的重力加速度 \(g\)。

根据万有引力定律公式：

\[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \]

其中 \(G\) 是万有引力常数，\(m_1\) 和 \(m_2\) 分别为两个物体的质量，\(r\) 为两者之间的距离。

对于地球表面的物体，可以将 \(m_1\) 视作物体质量 \(m\)，\(m_2\) 视作地球质量 \(M\)，\(r\) 视作地球半径 \(R\)。因此，重力 \(F\) 可以表示为：

\[ F = G \frac{Mm}{R^2} \]

而重力加速度 \(g\) 的定义是单位质量所受的重力大小，即：

\[ g = \frac{F}{m} = G \frac{M}{R^2} \]

代入已知数据，计算得：

\[ g = 6.67 \times 10^{-11} \cdot \frac{5.98 \times 10^{24}}{(6.37 \times 10^6)^2} \approx 9.8 \, \text{m/s}^2 \]

这个结果与实际测量值相符，说明我们的计算是合理的。

例题二：卫星绕地球运行周期的计算

假设一颗人造卫星以圆形轨道绕地球运行，轨道高度为 \(h = 400 \, \text{km}\)，试求该卫星的运行周期 \(T\)。

首先需要知道卫星做匀速圆周运动所需的向心力由地球提供的万有引力提供，即：

\[ F_{\text{向心}} = F_{\text{引力}} \]

向心力公式为：

\[ F_{\text{向心}} = m \frac{v^2}{r} \]

其中 \(v\) 是卫星的速度，\(r\) 是卫星到地心的距离。

万有引力公式为：

\[ F_{\text{引力}} = G \frac{Mm}{r^2} \]

令两者相等，并注意到 \(r = R + h\)（\(R\) 为地球半径），可得：

\[ m \frac{v^2}{r} = G \frac{Mm}{r^2} \]

消去 \(m\) 后得到：

\[ v^2 = G \frac{M}{r} \]

由于卫星做匀速圆周运动，其速度 \(v\) 还可以用周期 \(T\) 表示为：

\[ v = \frac{2\pi r}{T} \]

将此式代入上式并整理，得到：

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]

代入已知数据，计算得：

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{(6.37 \times 10^6 + 400 \times 10^3)^3}{6.67 \times 10^{-11} \cdot 5.98 \times 10^{24}}} \approx 5400 \, \text{s} \]

换算成小时约为 1.5 小时，这表明卫星的运行周期大约为 1.5 小时。

以上两个例题展示了如何利用万有引力定律解决实际问题。通过这些练习，我们可以更加深刻地理解和掌握这一基本物理定律的应用方法。希望这些例子能够对你的学习有所帮助！