在数学分析中，泰勒展开式是一种将函数表示为无穷级数的方法，它以英国数学家布鲁克·泰勒的名字命名。这种方法广泛应用于近似计算、函数性质研究以及数值分析等领域。掌握一些常用的泰勒展开式对于解决实际问题非常有帮助。以下是20个常见的泰勒展开式：

1. $ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $

2. $ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots $ (当 $-1 < x \leq 1$)

3. $ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots $

4. $ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots $

5. $ \tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots $

6. $ \arcsin(x) = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots $ (当 $-1 \leq x \leq 1$)

7. $ \arccos(x) = \frac{\pi}{2} - x - \frac{x^3}{6} - \frac{3x^5}{40} - \cdots $ (当 $-1 \leq x \leq 1$)

8. $ \arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots $

9. $ \sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \cdots $ (当 $-1 \leq x \leq 1$)

10. $ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots $ (当 $|x| < 1$)

11. $ \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots $ (当 $|x| < 1$)

12. $ \sinh(x) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots $

13. $ \cosh(x) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots $

14. $ \tanh(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} - \cdots $

15. $ \ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \cdots $ (当 $-1 \leq x < 1$)

16. $ \exp(-x^2) = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots $

17. $ \frac{1}{\sqrt{1-x}} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8} + \frac{5x^3}{16} + \cdots $ (当 $|x| < 1$)

18. $ \ln(1+x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} - \frac{x^8}{4} + \cdots $

19. $ \arctan(x^2) = x^2 - \frac{x^6}{3} + \frac{x^{10}}{5} - \frac{x^{14}}{7} + \cdots $

20. $ \frac{1}{(1+x)^n} = 1 - nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \cdots $

以上这些公式是数学中的基础工具，熟练掌握它们可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。当然，在使用这些公式时，我们需要根据具体情况进行调整和验证，确保其适用性。