【复数的运算公式】在数学中，复数是实数与虚数的组合，通常表示为 $ a + bi $，其中 $ a $ 是实部，$ b $ 是虚部，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。复数在工程、物理、信号处理等领域有着广泛的应用。为了更方便地进行计算，掌握复数的基本运算公式是十分重要的。
以下是对复数常见运算方式的总结，包括加法、减法、乘法、除法、共轭、模和幅角等基本运算公式，并以表格形式展示。
复数的运算公式总结
| 运算类型 | 公式表达 | 说明 | ||
| 加法 | $ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $ | 实部与实部相加，虚部与虚部相加 | ||
| 减法 | $ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $ | 实部与实部相减，虚部与虚部相减 | ||
| 乘法 | $ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i $ | 使用分配律展开，注意 $ i^2 = -1 $ | ||
| 除法 | $ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} $ | 通过有理化分母实现，乘以共轭后简化 | ||
| 共轭 | $ \overline{a + bi} = a - bi $ | 虚部符号取反 | ||
| 模 | $ | a + bi | = \sqrt{a^2 + b^2} $ | 表示复数在复平面上的距离 |
| 幅角 | $ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) $ | 表示复数与实轴之间的夹角，需考虑象限 |
举例说明
- 加法：$ (3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i $
- 减法：$ (5 - 3i) - (2 + 7i) = 3 - 10i $
- 乘法：$ (2 + 3i)(1 - i) = 2(1) + 2(-i) + 3i(1) + 3i(-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i $
- 除法：$ \frac{1 + i}{2 - i} = \frac{(1 + i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{2 + i + 2i + i^2}{4 + 1} = \frac{2 + 3i - 1}{5} = \frac{1 + 3i}{5} $
注意事项
1. 在进行复数运算时，应特别注意虚数单位 $ i $ 的平方为 -1。
2. 复数的除法常需要使用共轭来有理化分母。
3. 模和幅角可用于将复数转换为极坐标形式，便于乘除运算。
掌握这些基本运算公式，有助于在实际问题中更高效地处理复数相关的计算，尤其是在涉及波动、电路分析或信号处理等场景中。
