【伴随矩阵的行列式与原矩阵行列式有什么关系】在矩阵理论中，伴随矩阵（Adjoint Matrix）是一个重要的概念，它与原矩阵的行列式之间有着密切的关系。理解这种关系有助于我们更深入地掌握矩阵运算的本质。
一、
对于一个 $ n \times n $ 的方阵 $ A $，其伴随矩阵记为 $ \text{adj}(A) $，它是将矩阵 $ A $ 的每个元素替换为其对应的代数余子式后转置得到的矩阵。
伴随矩阵的一个重要性质是：
$$
A \cdot \text{adj}(A) = \text{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I
$$
其中，$ I $ 是单位矩阵。由此可以推导出伴随矩阵的行列式与原矩阵行列式之间的关系：
$$
\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}
$$
这个公式适用于所有 $ n \times n $ 方阵 $ A $，但需要注意以下几点：
- 如果 $ A $ 是奇异矩阵（即 $ \det(A) = 0 $），则 $ \text{adj}(A) $ 也是奇异矩阵，且 $ \det(\text{adj}(A)) = 0 $。
- 当 $ A $ 可逆时，有：
$$
\text{adj}(A) = \det(A) \cdot A^{-1}
$$
因此，此时伴随矩阵的行列式可以表示为：
$$
\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}
$$
二、表格对比
| 项目 | 表达式 | 说明 |
| 原矩阵 | $ A $ | $ n \times n $ 方阵 |
| 伴随矩阵 | $ \text{adj}(A) $ | 元素为 $ A $ 的代数余子式的转置矩阵 |
| 原矩阵行列式 | $ \det(A) $ | 矩阵 $ A $ 的行列式 |
| 伴随矩阵行列式 | $ \det(\text{adj}(A)) $ | 与 $ \det(A) $ 的关系如下方所示 |
| 关系式 | $ \det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1} $ | 适用于所有 $ n \times n $ 方阵 |
三、举例说明
假设 $ A $ 是一个 $ 2 \times 2 $ 的矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}
$$
则其伴随矩阵为：
$$
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
$$
行列式为：
$$
\det(A) = ad - bc, \quad \det(\text{adj}(A)) = (ad - bc)^{2-1} = ad - bc
$$
即 $ \det(\text{adj}(A)) = \det(A) $
再看 $ 3 \times 3 $ 矩阵的情况：
$$
A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}
$$
则：
$$
\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^2
$$
四、小结
伴随矩阵的行列式与原矩阵的行列式之间存在明确的数学关系：
$$
\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}
$$
这一结论在矩阵求逆、行列式计算及线性代数的其他应用中具有重要意义。理解这一关系有助于我们在实际问题中灵活运用矩阵理论。
