在数学中，完全立方和与立方差公式是代数中的重要工具，广泛应用于多项式展开、因式分解以及方程求解等领域。这两个公式分别是：
1. 完全立方和公式：
\[
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
\]
2. 完全立方差公式：
\[
a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
\]
接下来，我们将详细推导这两个公式的来源。
一、完全立方和公式的推导
我们从左向右推导公式 \(a^3 + b^3\) 的展开形式。
1. 假设表达式的形式：
设 \(a^3 + b^3 = (a+b)P(a, b)\)，其中 \(P(a, b)\) 是一个待定的二元多项式。
2. 确定 \(P(a, b)\)：
将右边展开：
\[
(a+b)P(a, b) = (a+b)(Aa^2 + Bab + Bb^2)
\]
其中 \(A\)、\(B\) 是待定系数。通过比较两边的次数和项数，可以得出：
\[
A = 1, \quad B = 1
\]
因此，\(P(a, b) = a^2 - ab + b^2\)。
3. 验证结果：
将 \(P(a, b) = a^2 - ab + b^2\) 代入原式：
\[
(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3
\]
经验证成立。
因此，完全立方和公式为：
\[
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
\]
二、完全立方差公式的推导
同样地，我们从左向右推导公式 \(a^3 - b^3\) 的展开形式。
1. 假设表达式的形式：
设 \(a^3 - b^3 = (a-b)Q(a, b)\)，其中 \(Q(a, b)\) 是一个待定的二元多项式。
2. 确定 \(Q(a, b)\)：
类似于上一部分，将右边展开：
\[
(a-b)Q(a, b) = (a-b)(Aa^2 + Bab + Bb^2)
\]
通过比较两边的次数和项数，可以得出：
\[
A = 1, \quad B = 1
\]
因此，\(Q(a, b) = a^2 + ab + b^2\)。
3. 验证结果：
将 \(Q(a, b) = a^2 + ab + b^2\) 代入原式：
\[
(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3
\]
经验证成立。
因此，完全立方差公式为：
\[
a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
\]
三、总结
通过上述推导过程，我们得到了两个重要的公式：
1. 完全立方和公式：
\[
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
\]
2. 完全立方差公式：
\[
a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
\]
这两个公式不仅在代数运算中有重要作用，还为后续的数学学习奠定了坚实的基础。希望读者能够熟练掌握并灵活运用这些公式！
