在高中阶段，数学作为一门核心学科，其重要性不言而喻。尤其对于高二学生来说，这一学年的数学学习不仅关系到知识体系的完善，还直接影响到高考成绩。因此，掌握好每一章节的知识点，并通过练习题巩固所学内容显得尤为重要。

今天我们就来详细解析一道典型的高二数学试题，帮助大家更好地理解相关概念和解题思路。

题目如下：

已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，请回答以下问题：

1. 求导数f'(x)，并确定函数的单调区间。

2. 判断函数是否存在极值点，并指出极大值或极小值。

3. 计算定积分 ∫(从0到4)f(x)dx。

解答过程：

1. 首先求导数f'(x)。根据幂法则，我们得到：

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

接下来寻找导数等于零的点，即解方程：

3x^2 - 12x + 9 = 0。

化简后为：

x^2 - 4x + 3 = 0。

因式分解得：

(x-1)(x-3) = 0。

所以，x=1和x=3是两个关键点。

2. 根据一阶导数测试法，当x<1时，f'(x)>0；当13时，f'(x)>0。这表明函数在x=1处取得极大值，在x=3处取得极小值。

3. 对于定积分计算，我们有：

∫(从0到4)f(x)dx = [x^4/4 - 2x^3 + 9x^2/2 + x] | (从0到4)。

代入上下限分别计算得到结果。

通过以上步骤，我们可以清楚地看到如何运用微积分的基本原理解决实际问题。希望这些分析能够对同学们有所帮助。当然，在日常学习中还需要不断积累经验，灵活运用各种技巧，才能真正提高自己的数学水平。