【复合函数怎么求导】在微积分中，复合函数的求导是一个非常重要的内容。复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，其求导需要使用链式法则（Chain Rule）。掌握复合函数的求导方法，有助于我们解决更复杂的数学问题。
一、复合函数的基本概念
复合函数是指一个函数作为另一个函数的输入。例如，若 $ f(x) = \sin(x) $，$ g(x) = x^2 $，则复合函数 $ h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) $ 就是一个典型的复合函数。
二、复合函数的求导法则：链式法则
链式法则指出，如果 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，那么：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
也就是说，复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对自变量的导数。
三、复合函数求导步骤总结
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 确定复合函数的内外层函数，即识别出“外函数”和“内函数”。 |
| 2 | 对外函数进行求导，将内函数视为独立变量。 |
| 3 | 对内函数进行求导，得到内函数关于自变量的导数。 |
| 4 | 将两者的导数相乘，得到最终结果。 |
四、典型例题解析
例1：求 $ y = \sin(3x) $ 的导数
- 外函数：$ \sin(u) $，其中 $ u = 3x $
- 外导：$ \cos(u) $
- 内导：$ 3 $
- 结果：$ \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $
例2：求 $ y = (2x + 1)^5 $ 的导数
- 外函数：$ u^5 $，其中 $ u = 2x + 1 $
- 外导：$ 5u^4 $
- 内导：$ 2 $
- 结果：$ 5(2x + 1)^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4 $
五、常见复合函数类型及导数公式（表格）
| 函数形式 | 导数 |
| $ \sin(u) $ | $ \cos(u) \cdot u' $ |
| $ \cos(u) $ | $ -\sin(u) \cdot u' $ |
| $ e^u $ | $ e^u \cdot u' $ |
| $ \ln(u) $ | $ \frac{1}{u} \cdot u' $ |
| $ u^n $（n为常数） | $ n \cdot u^{n-1} \cdot u' $ |
| $ \tan(u) $ | $ \sec^2(u) \cdot u' $ |
六、小结
复合函数的求导本质上是通过链式法则将复杂函数分解为简单部分来求导。理解并熟练运用链式法则，是掌握微积分中函数求导的关键。通过练习不同类型的复合函数，可以进一步提高解题能力与思维灵活性。
如需进一步了解多层复合函数（如三重或四重复合）的求导方法，可继续深入学习链式法则的扩展应用。
