【两角和差公式】在三角函数中，两角和差公式是用于计算两个角度的正弦、余弦和正切值的组合公式。这些公式在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，尤其在解决与角度相关的计算问题时非常实用。
以下是常见的两角和差公式总结：
一、两角和与差的正弦公式
$$
\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta
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\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta
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二、两角和与差的余弦公式
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\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta
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$$
\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta
$$
三、两角和与差的正切公式
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\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}
$$
$$
\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}
$$
四、公式对比表格
| 公式类型 | 公式表达式 | 说明 |
| 正弦和 | $\sin(\alpha + \beta)$ | $\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$ |
| 正弦差 | $\sin(\alpha - \beta)$ | $\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$ |
| 余弦和 | $\cos(\alpha + \beta)$ | $\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$ |
| 余弦差 | $\cos(\alpha - \beta)$ | $\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$ |
| 正切和 | $\tan(\alpha + \beta)$ | $\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$ |
| 正切差 | $\tan(\alpha - \beta)$ | $\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$ |
五、应用举例
例如，已知 $\alpha = 30^\circ$，$\beta = 45^\circ$，可以使用上述公式计算 $\sin(75^\circ)$ 和 $\cos(15^\circ)$ 的值：
- $\sin(75^\circ) = \sin(30^\circ + 45^\circ) = \sin30^\circ \cos45^\circ + \cos30^\circ \sin45^\circ$
- $\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos45^\circ \cos30^\circ + \sin45^\circ \sin30^\circ$
通过代入具体数值，可以得到精确结果。
六、注意事项
1. 使用公式时，需注意角度单位（弧度或角度）的一致性。
2. 在使用正切公式时，要避免分母为零的情况，即 $1 - \tan\alpha \tan\beta \neq 0$。
3. 这些公式不仅适用于具体的数值角度，也适用于任意角度的代数运算。
通过掌握两角和差公式，可以更灵活地处理涉及多个角度的三角函数问题，提升解题效率和准确性。
