【基础解系的求法】在解线性方程组的过程中，尤其是齐次线性方程组的求解中，“基础解系”是一个非常重要的概念。它能够帮助我们系统地描述所有解的结构，是理解线性代数中解空间的重要工具。本文将对“基础解系”的求法进行总结，并通过表格形式直观展示关键步骤和方法。
一、基础解系的概念
对于一个齐次线性方程组：
$$
A\mathbf{x} = \mathbf{0}
$$
其中 $ A $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵，$ \mathbf{x} $ 是一个 $ n $ 维列向量，若该方程组有非零解，则其所有解构成一个向量空间，称为该方程组的解空间。在这个解空间中，基础解系是一组线性无关的向量，它们可以作为解空间的一组基，即任何解都可以表示为这些向量的线性组合。
二、基础解系的求法步骤
1. 写出系数矩阵 $ A $
2. 对矩阵 $ A $ 进行初等行变换，化为行最简形矩阵
3. 确定主变量与自由变量
4. 令每个自由变量取 1 或 0，其余变量由方程组求出
5. 得到一组线性无关的解向量，即为基础解系
三、基础解系求法总结（表格）
| 步骤 | 内容说明 | 举例 |
| 1 | 将齐次线性方程组写成矩阵形式 $ A\mathbf{x} = \mathbf{0} $ | 如： $$ \begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 0 \end{cases} \Rightarrow A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{bmatrix} $$ |
| 2 | 对矩阵 $ A $ 进行行变换，化为行最简形 | 例如： $$ A \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} $$ |
| 3 | 确定主变量与自由变量 | 主变量：$ x_1, x_2 $；自由变量：$ x_3 $ |
| 4 | 令自由变量分别取 1 和 0，其他变量由方程求出 | 令 $ x_3 = 1 $，则： $$ x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 1 \Rightarrow \mathbf{v}_1 = (0, 1, 1) $$ |
| 5 | 得到一组线性无关的解向量，构成基础解系 | 基础解系为：$ \{(0, 1, 1)\} $ |
