点积（内积）

点积是两个向量之间的一种标量乘法运算，其结果是一个标量值。假设向量a = (a₁, a₂, ..., an) 和向量b = (b₁, b₂, ..., bn)，则它们的点积表示为：

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n \]

或者简写为：

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \]

点积的一个重要性质是它等于两个向量模长的乘积与它们夹角余弦值的乘积：

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos{\theta} \]

其中 \(|\mathbf{a}|\) 和 \(|\mathbf{b}|\) 分别代表向量a和向量b的模长，而θ是这两个向量之间的夹角。

点积广泛应用于物理、工程学等领域，比如计算功、功率等概念时都需要用到点积。

叉积（外积）

叉积则是三维空间中的另一个重要的向量运算，结果是一个新的向量，该向量垂直于原始的两个向量所在的平面，并且方向遵循右手定则。如果给定向量a = (a₁, a₂, a₃) 和向量b = (b₁, b₂, b₃)，那么它们的叉积可以表示为：

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3

\end{vmatrix}

\]

展开后得到：

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k} \]

叉积的应用包括但不限于计算面积、体积，以及确定旋转方向等方面。

总结来说，向量a乘以向量b的方式取决于具体情况，如果是求解标量值，则使用点积；若需获得一个新的向量，则考虑叉积。这两种方法都是线性代数中不可或缺的基础工具，在解决实际问题时发挥着重要作用。