【等差数列和等比数列的所有公式】在数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型，它们在数列与级数的学习中占有重要地位。掌握它们的公式对于解决相关问题非常关键。以下是对等差数列和等比数列所有常用公式的总结，便于学习和复习。
一、等差数列
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差是一个常数的数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。
1. 通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ a_n $：第 $ n $ 项
- $ a_1 $：首项
- $ d $：公差
2. 前 $ n $ 项和公式：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ S_n $：前 $ n $ 项的和
3. 中间项性质（若 $ n $ 为奇数）：
$$
a_{\frac{n+1}{2}} = \frac{a_1 + a_n}{2}
$$
二、等比数列
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比是一个常数的数列。这个常数称为公比，记作 $ q $。
1. 通项公式：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}
$$
其中：
- $ a_n $：第 $ n $ 项
- $ a_1 $：首项
- $ q $：公比
2. 前 $ n $ 项和公式：
当 $ q \neq 1 $ 时：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
$$
当 $ q = 1 $ 时：
$$
S_n = n \cdot a_1
$$
3. 中间项性质（若 $ n $ 为奇数）：
$$
a_{\frac{n+1}{2}} = \sqrt{a_1 \cdot a_n}
$$
三、对比表格
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前一项的差为常数 | 每项与前一项的比为常数 |
| 公差 | $ d $ | $ q $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot q^{n - 1} $ |
| 前 $ n $ 项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $ （$ q \neq 1 $） $ S_n = n \cdot a_1 $ （$ q = 1 $） |
| 中间项性质（$ n $ 为奇数） | $ a_{\frac{n+1}{2}} = \frac{a_1 + a_n}{2} $ | $ a_{\frac{n+1}{2}} = \sqrt{a_1 \cdot a_n} $ |
通过以上内容，可以系统地了解等差数列和等比数列的基本公式及其应用方式。在实际解题过程中，灵活运用这些公式能够大大提高效率和准确性。建议多做练习题来巩固记忆和理解。
