【变上限积分求导公式是什么】在微积分中，变上限积分是一个重要的概念，尤其在求导和积分之间的关系中扮演着关键角色。变上限积分指的是积分的上限是一个变量函数，而不是一个常数。根据微积分基本定理，我们可以直接对这类积分进行求导，而不需要先计算积分本身。
一、变上限积分的基本形式
设函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数（即 $ F'(x) = f(x) $），则：
$$
\int_{a}^{x} f(t) \, dt = F(x) - F(a)
$$
当我们将积分的上限设为一个变量 $ x $ 时，这个表达式就称为“变上限积分”。
二、变上限积分的求导公式
根据微积分基本定理，若函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt $，那么 $ F(x) $ 在 $[a, b]$ 上可导，且其导数为：
$$
F'(x) = \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x)
$$
这就是变上限积分求导的基本公式，也称为牛顿-莱布尼兹公式的一部分。
三、变上限积分的推广形式
如果积分的上限不是简单的 $ x $，而是某个关于 $ x $ 的函数 $ u(x) $，那么我们可以通过链式法则来求导：
$$
\frac{d}{dx} \int_{a}^{u(x)} f(t) \, dt = f(u(x)) \cdot u'(x)
$$
如果积分的上下限都是关于 $ x $ 的函数，即：
$$
\frac{d}{dx} \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) \, dt = f(u(x)) \cdot u'(x) - f(v(x)) \cdot v'(x)
$$
四、总结与对比
| 情况 | 积分表达式 | 导数公式 |
| 常数下限，变量上限 | $ \int_{a}^{x} f(t) \, dt $ | $ f(x) $ |
| 变量下限，变量上限 | $ \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) \, dt $ | $ f(u(x)) \cdot u'(x) - f(v(x)) \cdot v'(x) $ |
| 只有变量上限 | $ \int_{a}^{u(x)} f(t) \, dt $ | $ f(u(x)) \cdot u'(x) $ |
五、实际应用举例
1. 例1：求 $ \frac{d}{dx} \int_{0}^{x^2} \sin t \, dt $
解：令 $ u(x) = x^2 $，则：
$$
\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^2} \sin t \, dt = \sin(x^2) \cdot 2x
$$
2. 例2：求 $ \frac{d}{dx} \int_{x}^{x^2} e^t \, dt $
解：令 $ u(x) = x^2 $，$ v(x) = x $，则：
$$
\frac{d}{dx} \int_{x}^{x^2} e^t \, dt = e^{x^2} \cdot 2x - e^x \cdot 1
$$
六、结语
变上限积分的求导是微积分中的核心内容之一，它不仅简化了复杂的积分运算，还为后续学习微分方程、物理模型等打下了坚实的基础。掌握这一公式的应用，有助于更深入理解积分与导数之间的关系，提高数学分析能力。
