【基础解系怎么求出来的】在学习线性代数的过程中，基础解系是一个非常重要的概念。它主要用于描述齐次线性方程组的解空间的结构。理解基础解系的求法，有助于我们更深入地掌握矩阵与方程组的关系。
一、基础解系的定义
对于一个齐次线性方程组 $ A\mathbf{x} = \mathbf{0} $，其所有解构成一个向量空间，称为该方程组的解空间。基础解系是这个解空间的一组极大线性无关组，即能通过这组向量线性表示出所有解。
二、基础解系的求法步骤
1. 写出系数矩阵：将齐次方程组的系数写成矩阵形式 $ A $。
2. 对矩阵进行初等行变换：将其化为行最简形矩阵（或简化阶梯形）。
3. 确定主变量和自由变量：根据非零行的第一个非零元所在列确定主变量，其余列为自由变量。
4. 设自由变量为参数：令每个自由变量取不同的值（如1, 0, 0…），得到对应的解向量。
5. 写出基础解系：这些解向量构成一组基础解系。
三、基础解系求解流程总结
| 步骤 | 操作 | 说明 |
| 1 | 写出系数矩阵 $ A $ | 将方程组的系数按列排列 |
| 2 | 对矩阵进行行变换 | 化为行最简形矩阵 |
| 3 | 确定主变量和自由变量 | 主变量对应非零行第一个非零元所在的列 |
| 4 | 设自由变量为参数 | 如 $ x_3 = t $，$ x_4 = s $ 等 |
| 5 | 解出主变量表达式 | 用自由变量表示主变量 |
| 6 | 得到特解 | 令自由变量分别为1和0，得到多个解向量 |
| 7 | 组成基础解系 | 这些解向量构成基础解系 |
四、举例说明
假设方程组为：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\
x_1 - x_2 + x_3 = 0
\end{cases}
$$
系数矩阵为：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & 1
\end{bmatrix}
$$
经过行变换后，得到行最简形：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1
\end{bmatrix}
$$
主变量为 $ x_1, x_2 $，自由变量为 $ x_3 $。
令 $ x_3 = t $，则：
- $ x_1 = 0 $
- $ x_2 = t $
解为：
$$
\mathbf{x} = t \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}
$$
因此，基础解系为：
$$
\left\{ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}
$$
五、小结
基础解系是齐次线性方程组解空间的一组基，它的求解过程包括：矩阵化简、变量分类、参数设定、解向量构造等步骤。掌握这一方法，能够帮助我们更好地理解和应用线性代数中的相关知识。
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