【行列式的几个重要公式】行列式是线性代数中的一个基本概念，广泛应用于矩阵分析、方程组求解、几何变换等领域。掌握行列式的相关公式对于深入理解线性代数具有重要意义。本文将总结行列式的几个重要公式，并以表格形式进行展示，帮助读者更好地理解和记忆。
一、行列式的定义
设 $ A = (a_{ij}) $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，则其行列式记作 $
$$
\det(A) = \sum_{\sigma} (-1)^{\text{sgn}(\sigma)} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}
$$
其中，$ \sigma $ 是 $ 1, 2, ..., n $ 的排列，$ \text{sgn}(\sigma) $ 表示排列的奇偶性（奇排列为 -1，偶排列为 +1）。
二、行列式的几个重要公式
以下是行列式的一些重要公式和性质，适用于不同情况下的计算与推导：
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 1. 余子式展开 | $ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} $ | 按第 $ i $ 行或第 $ j $ 列展开，$ M_{ij} $ 为 $ a_{ij} $ 的余子式 |
| 2. 对角线行列式 | $ \det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} $ | 当矩阵为对角矩阵时，行列式为对角元素乘积 |
| 3. 上三角/下三角行列式 | $ \det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} $ | 三角矩阵的行列式为其对角线元素乘积 |
| 4. 行列式性质：交换两行（列） | $ \det(A') = -\det(A) $ | 行列式值变号 |
| 5. 行列式性质：某一行（列）乘以常数 $ k $ | $ \det(A') = k \cdot \det(A) $ | 行列式乘以该常数 |
| 6. 行列式性质：某一行（列）加到另一行（列） | $ \det(A') = \det(A) $ | 行列式不变 |
| 7. 行列式与逆矩阵 | $ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} $ | 若 $ A $ 可逆，则其逆矩阵的行列式为其倒数 |
| 8. 行列式与矩阵乘法 | $ \det(AB) = \det(A)\det(B) $ | 两个矩阵相乘的行列式等于各自行列式的乘积 |
| 9. 转置行列式 | $ \det(A^T) = \det(A) $ | 矩阵与其转置的行列式相等 |
| 10. 零行列式 | $ \det(A) = 0 $ | 当且仅当矩阵为奇异矩阵（不可逆） |
三、小结
行列式的计算与性质在数学中具有重要作用。通过上述公式，我们可以更高效地进行行列式的计算与推导。同时，这些公式也为后续学习矩阵的秩、特征值、特征向量等内容打下了坚实的基础。
在实际应用中，建议结合具体问题选择合适的公式进行计算，避免不必要的复杂运算。此外，理解行列式的几何意义（如面积、体积的变化率）也有助于加深对这一概念的理解。
原创声明：本文内容为作者根据行列式相关知识整理而成，未直接引用网络资料，旨在提供清晰、系统的行列式公式总结。
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