【等差数列和等比数列公式】在数学中，数列是一个重要的概念，尤其在高中数学中，等差数列和等比数列是常见的两种数列类型。它们各自有不同的规律和计算公式，掌握这些内容对于解决相关问题非常有帮助。以下是对等差数列和等比数列的基本公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、等差数列
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差是一个常数的数列。这个常数称为公差，通常用字母 $ d $ 表示。
基本公式：
1. 通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中，$ a_n $ 是第 $ n $ 项，$ a_1 $ 是首项，$ d $ 是公差。
2. 前 $ n $ 项和公式：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
$ S_n $ 表示前 $ n $ 项的和。
3. 中间项性质：
如果三个数成等差数列，则中间数是前后两数的等差中项，即：
$$
b = \frac{a + c}{2}
$$
二、等比数列
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比是一个常数的数列。这个常数称为公比，通常用字母 $ r $ 表示。
基本公式：
1. 通项公式：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n - 1}
$$
其中，$ a_n $ 是第 $ n $ 项，$ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比。
2. 前 $ n $ 项和公式：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} \quad (r \neq 1)
$$
当 $ r = 1 $ 时，数列为常数列，前 $ n $ 项和为 $ S_n = n \cdot a_1 $。
3. 中间项性质：
如果三个数成等比数列，则中间数是前后两数的等比中项，即：
$$
b = \sqrt{ac}
$$
三、对比总结表
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每一项与前一项的差为常数（公差 $ d $） | 每一项与前一项的比为常数（公比 $ r $） |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $ |
| 前 $ n $ 项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $（$ r \neq 1 $） |
| 中间项性质 | $ b = \frac{a + c}{2} $ | $ b = \sqrt{ac} $ |
| 特殊情况 | 若 $ d = 0 $，则所有项相等 | 若 $ r = 1 $，则所有项相等 |
四、应用提示
- 在实际问题中，判断数列类型是关键。可以通过观察相邻项之间的差或比来确定。
- 等差数列适用于线性增长模型，如匀速运动、工资增长等。
- 等比数列适用于指数增长模型，如复利计算、细胞分裂等。
掌握等差数列和等比数列的公式，有助于快速求解数列相关问题，提升数学思维能力。
