【线性代数:行列式按行展开】在学习线性代数的过程中，行列式的计算是一个重要的内容。行列式的计算方法多种多样，其中“按行展开”是一种常用且有效的手段。它不仅能够简化复杂行列式的计算过程，还能帮助我们理解行列式的结构与性质。
一、行列式按行展开的基本概念
行列式按行展开，也称为拉普拉斯展开（Laplace Expansion），是指将一个n阶行列式按照某一行或某一列进行展开，将其分解为若干个(n-1)阶行列式的组合。这种方法适用于任何阶数的行列式，尤其在计算高阶行列式时非常实用。
展开公式如下：
$$
\text{det}(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot C_{ij}
$$
其中，$a_{ij}$ 是第i行第j列的元素，$C_{ij}$ 是该元素的代数余子式，定义为：
$$
C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
$$
其中，$M_{ij}$ 是去掉第i行第j列后的余子式。
二、行列式按行展开的步骤
1. 选择一行或一列：通常选择含有较多零的行或列，以减少计算量。
2. 计算每个元素的代数余子式：根据公式计算每个元素对应的余子式。
3. 相乘并求和：将每个元素与其对应的代数余子式相乘，并将所有结果相加。
三、行列式按行展开的应用实例
以下是一个3阶行列式的例子，展示如何按行展开进行计算：
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{bmatrix}
$$
我们选择第一行进行展开：
$$
\text{det}(A) = 1 \cdot C_{11} + 2 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13}
$$
计算各余子式：
- $C_{11} = (+1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) = 45 - 48 = -3$
- $C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = -1 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) = - (36 - 42) = 6$
- $C_{13} = (+1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 32 - 35 = -3$
因此：
$$
\text{det}(A) = 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0
$$
四、总结表格
| 步骤 | 内容 | |
| 1 | 选择一行或一列进行展开（推荐含零多的行/列） | |
| 2 | 计算每个元素的代数余子式 $C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$ | |
| 3 | 将每个元素与其对应的余子式相乘并求和 | |
| 4 | 得到最终的行列式值 | |
| 示例行列式 | 展开方式 | 结果 |
| $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$ | 按第一行展开 | 0 |
五、注意事项
- 行列式按行展开适用于任意阶数的行列式。
- 若某行或列中存在多个零元素，可显著减少计算量。
- 代数余子式的符号由位置决定，需注意正负号的正确应用。
- 可结合其他方法（如行变换）进一步简化计算。
通过掌握行列式按行展开的方法，可以更高效地处理复杂的行列式问题，是线性代数学习中的重要技能之一。
