【欧拉方程求解微分方程】在数学中，欧拉方程（Euler equation）是一种特殊的二阶线性常微分方程，形式为：
$$
x^2 y'' + x y' + y = 0
$$
这类方程在物理、工程和数学建模中有着广泛的应用。求解欧拉方程的方法通常包括假设解的形式为 $ y = x^r $，从而将其转化为一个代数方程进行求解。
欧拉方程求解步骤总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 假设解的形式为 $ y = x^r $，其中 $ r $ 是待定常数。 |
| 2 | 将 $ y = x^r $ 代入原方程，计算一阶导数和二阶导数： $ y' = r x^{r-1} $, $ y'' = r(r-1) x^{r-2} $. |
| 3 | 代入原方程后得到特征方程： $ r(r-1) + r + 1 = 0 $，即 $ r^2 + 1 = 0 $. |
| 4 | 解特征方程，得到根 $ r_1 = i $, $ r_2 = -i $（复数根）。 |
| 5 | 根据复数根的性质，写出通解形式： $ y = C_1 x \cos(\ln x) + C_2 x \sin(\ln x) $. |
欧拉方程通解形式一览表
| 特征方程根 | 通解形式 |
| 实数且不相等 | $ y = C_1 x^{r_1} + C_2 x^{r_2} $ |
| 实数且相等 | $ y = (C_1 + C_2 \ln x) x^{r} $ |
| 共轭复数 | $ y = x^\alpha [C_1 \cos(\beta \ln x) + C_2 \sin(\beta \ln x)] $ |
其中，若特征方程为 $ r^2 + pr + q = 0 $，则 $ \alpha = -\frac{p}{2} $，$ \beta = \sqrt{q - \left(\frac{p}{2}\right)^2} $。
结语
欧拉方程是处理某些特定类型微分方程的重要工具，尤其适用于含有 $ x^n $ 系数的方程。通过特征方程法，可以系统地求出其通解，并根据特征根的不同情况选择合适的解的形式。掌握这一方法有助于更深入理解微分方程的结构与解的性质。
