正态分布是一种在自然界和社会科学中广泛存在的连续概率分布形式。它以钟形曲线为特征，常用于描述随机变量的分布情况。正态分布的概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）是其核心数学表达方式，而这些函数的计算公式对于统计学分析至关重要。

概率密度函数（PDF）

正态分布的概率密度函数定义如下：

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

其中：

- \( x \) 是随机变量的具体取值；

- \( \mu \) 是正态分布的均值；

- \( \sigma \) 是正态分布的标准差；

- \( e \) 是自然对数的底数，约等于 2.71828。

这个公式表明，正态分布的概率密度随着 \( x \) 距离均值 \( \mu \) 的远近呈指数衰减。标准差 \( \sigma \) 决定了分布的宽度，标准差越大，曲线越平坦；反之则越陡峭。

累积分布函数（CDF）

正态分布的累积分布函数用来计算随机变量小于或等于某一特定值的概率。累积分布函数没有简单的解析解，通常需要通过数值积分或者查表来获得。其一般形式为：

\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt \]

其中 \( f(t) \) 是概率密度函数。在实际应用中，我们常常使用标准化的正态分布来简化计算过程。将任意正态分布转化为标准正态分布（即均值为 0，标准差为 1），可以利用以下变换实现：

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

然后查找标准正态分布表或使用软件工具来获取对应的累积概率值。

应用场景

正态分布在质量管理、金融分析、生物学研究等多个领域有着广泛应用。例如，在质量控制中，它可以用来评估产品尺寸是否符合预期规格；在投资领域，则可以帮助投资者理解收益波动的风险水平。

总之，掌握正态分布及其相关计算方法对于深入理解和解决现实世界中的不确定性问题具有重要意义。无论是理论研究还是实践操作，正确运用正态分布的概率计算公式都能为我们提供有力的支持。